“Criterio de Mohr” GEOMECÁNICA

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Existen diversos criterios de rotura de roca dentro de los que se encuentra el criterio de Mohr. Esta teoría es un modelo matemático basado en criterios geométricos, utilizando como sustento y tomando todos los elementos de la técnica del “Círculo de Mohr” para su desarrollo. Este procedimiento es útil en cualquier campo de la ingeniería donde se necesite estudiar las prestaciones de un material quebradizo, en general se aplica a materiales de tipo cerámicos.

Este criterio será abordado en el presente informe junto con conceptos previos necesarios para su comprensión.

Criterio de rotura general.-

Existen dos formas para definir el comportamiento de una roca en rotura: mediante el estado de tensiones o mediante el de deformaciones. Normalmente se utiliza la primera. Se toma como resistencia de la roca la máxima tensión que ésta puede soportar. Para cualquier punto del macizo el tensor de tensiones viene definido por seis componentes, tres componentes normales, y tres componentes tangenciales, σxi, σyi, σzi, τxyi, τyzi y τxzi, en un sistema de coordenadas (x, y, z). Dependiendo de la magnitud y dirección de las seis componentes del tensor, se obtienen las tres tensiones principales, σ1i, σ2i, σ3i, donde σ1i es la tensión mayor, σ2i la tensión intermedia y σ3i la tensión menor.

En el caso de un material isótropo, cualquier dirección es dirección principal, con lo que las tres tensiones principales se representan σ1, σ2, σ3. En este caso se define como criterio de rotura a la superficie f, que delimita en el espacio de tensiones principales (σ1, σ2, σ3) un cierto dominio que llamamos dominio elástico viene expresado por la siguiente ecuación:

f (σ 1, σ 2, σ 3) = 0

En general, los equipos utilizados para la obtención de resultados experimentales nos dan datos sobre las tensiones principales, si a esto le añadimos que la tensión intermedia (σ2) se suele ignorar, el criterio de rotura se define bidimensionalmente en función de la tensión mayor (σ1), y la tensión menor (σ3), como:

f (σ 1, σ 3) = 0

f es la superficie que limita el dominio elástico del material, en el espacio bidimensional de tensiones principales, y la ecuación que describe esta superficie de fluencia es el criterio de rotura (ver Figura 1).

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Figura 1: Representación del criterio de rotura en términos bidimensionales. Modificada de según Melentijevic, 2005.

Los puntos representados encima del dominio elástico (f (σ1, σ3) = 0) están en situación de rotura, por el contrario, los puntos del macizo con estado tensional en el interior del dominio elástico no están en rotura, sino que están en estado elástico. Los puntos del exterior del dominio elástico son puntos tensionales inaccesibles, es decir no se pueden obtener dichas tensiones para el macizo en cuestión (5).

Por lo tanto, criterio de rotura es una relación entre tensiones que permite predecir la resistencia de una roca sometida a un campo tensional. En general, los criterios de rotura se refieren a la resistencia máxima, aunque también se pueden emplear para la resistencia residual. Los criterios de rotura más utilizados en mecánica de rocas son los de Mohr-Coulomb, Hoek-Brown, Drucker-Prager, Von Misses y Tresca (1).

Dependiendo de cómo se defina la ecuación de la superficie de fluencia (f) se obtienen los criterios de rotura. A continuación se hace una descripción del criterio de rotura lineal de Mohr-Coulomb (5).

Círculos de Mohr.-

Un stress cualquiera aplicado a un plano puede ser resuelto en tres componentes: stress normal (stress perpendicular al plano), y dos stresses de cizalle (paralelos al plano en las dos direcciones ortogonales del sistema de ejes elegido) como lo muestra la figura 2 (9).

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Figura 2: Stress en un plano.

Para resolver el problema se realiza un análisis de stress en un punto, ya que; el stress a través de un volumen puede variar. Ver figura 3.

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Figura 3: Stresses que actúan sobre las caras de un cubo.

Sea una porción cúbica de roca referida a un sistema coordenado x,y,z (a), se puede realizar una descomposición del stress Sz que actúa sobre la cara del cubo que corta al eje z (b). Se descompone en un stress normal σz y dos stresses tangenciales τzx y τzy.

Se considera un punto como un cubo infinitamente pequeño con seis caras (tres pares de planos). Se consideran tres caras porque las otras tres caras paralelas son idénticas. Figura 4.

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Figura 4: Stress en un punto.

Tensor de stress.-

En la figura 5 se muestra el stress en cada cara, en términos de tres vectores del stress. Resultan 9 stresses, los cuales se pueden expresar en una matriz general de stress.

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Figura 5: Diagrama tensor de stress

1.- Caso Tridimensional.-

Los stresses normales σ1, σ2 y σ3 se denominan stresses principales y usualmente se anotan como: σ1> σ2 > σ3.

Los planos (σ1, σ3), (σ1, σ2) y (σ2, σ3) se denominan planos de stresses principales, y poseen la propiedad de que a lo largo de ellos no ocurre cizalle.

Tanto los stresses principales como los stresses normales y de cizalle pueden representarse en un gráfico cartesiano mediante círculos de Mohr, como lo muestra la figura 6.

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Figura 6: Círculos de Mohr para representar un estado de tensión tridimensional en un punto.

2.- Caso Bidimensional.-

Sea un cuadrado referido a un sistema coordenado x,y, figura 7, se muestran los stresses normales y tangenciales que actúan sobre las respectivas caras del cuadrado, y que mantienen el cuadrado en equilibrio.

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Figura 7: Stresses actuando sobre las caras de un cuadrado.

En este caso la circunferencia de Mohr