DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES

...

[pic 20]

Ejemplo 1

Trace la gráfica de la función [pic 21]

Solución

La gráfica de esta tipo funciones es muy común y se conocen como paraboloides (figura 2).

[pic 22]

Observación: el paraboloide anterior [pic 23] tiene su eje de simetría paralelo al eje[pic 24], es de esperar que un paraboloide como [pic 25] tenga su eje de simetría paralelo al eje [pic 26].

4.3.- CURVAS Y SUPERFICIES DE NIVEL.

Una curva es: una línea continúa de una dimensión, que varía de dirección paulatinamente. Ejemplos sencillos de curvas cerradas son la elipse o la circunferencia, y de curvas abiertas la parábola y la hipérbola.

En fin, una curva es una línea que hace firuletes en un espacio vectorial.

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Superficie: es un conjunto en 3d, una esfera, un paraboloide hiperbólico, paraboloide, un elipsoide, etc....

[pic 28]

LAS CURVAS Y SUPERFICIES NO SON FUNCIONES,SON CONJUNTOS. QUE SE PUEDEN VER COMO "CORTES" DE LOS GRAFICOS QUE DESCRIBEN LAS FUNCIONES. A CADA CORTE DE LA FUNCION SE LO LLAMA NIVEL.

El conjunto de parejas ordenadas x,y se llama dominio de la función y el conjunto de valores correspondiente a z se llama contra dominio, rango, ámbito. Una función de dos variables se escribe z = “f(x,y) de x, y”.

Las variables x, y se denominan variables independientes y z la variable dependiente.

La gráfica de una función Z es una superficie del espacio tridimensional. El potencial electrostático en un punto P(x,y) del plano debido a una carga puntual unitaria, colocada en el origen está dada por:

Donde C es una constante positiva, las líneas o curvas equipotenciales son círculos alrededor de la carga y se les denomina curvas del nivel

Las curvas de nivel se usan: en la elaboración de mapas orográficos o planos de configuración.

En los mapas meteorológicos o climáticos, las curvas de nivel se llaman isotérmicos (cuando la temperatura es constante: isotérmico), en un mapa meteorológico que represente la presión atmosférica se les llama isobalos (presión barométrica constante).

[pic 29]

[pic 30]

4.4.- DERIVADAS PARCIALES DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Y SU INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA.

La derivada de una función de una variable mide la rapidez de cambio de la variable dependiente respecto a la variable independiente.

Para funciones de dos variables podemos medir dos razones de cambio: según cambia , dejando a fija y otra según cambia dejando a fija.[pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35]

Supongamos que dejamos variar solo a , dejando a fija, digamos que , en donde es una constante. Entonces, estamos en presencia de una función de una sola variable , a saber que .[pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40][pic 41]

Si tiene una derivada en entonces la llamamos la derivada parcial de con respecto a en . De forma análoga podemos hacerlo para como variable y fija, es decir, es una constante. [pic 42][pic 43][pic 44][pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49]

Definición (Derivada Parcial)

Si , entonces las derivadas parciales primeras de con respecto a y a son las funciones respectivamente, definidas mediantes,[pic 50][pic 51][pic 52][pic 53][pic 54]

[pic 55]

[pic 56]

Siempre y cuando existan los límites.

Su derivada para cuando se llama derivada parcial de con respecto a en y se denota como y esta dada por la expresión.[pic 57][pic 58][pic 59][pic 60][pic 61]

[pic 62]

Análogamente, cuando se llama derivada parcial de con respecto a en y se denota como y esta dada por la expresión.[pic 63][pic 64][pic 65][pic 66][pic 67]

[pic 68]

Esta definición indica que si entonces para calcular consideramos que es constante y derivamos con respecto a . De forma análoga, para obtener consideramos que es constante y derivamos con respecto a .[pic 69][pic 70][pic 71][pic 72][pic 73][pic 74][pic 75]

Es evidente que para hallar las derivadas parciales pueden utilizarse las fórmulas ordinarias de derivación.

Notación de la Derivada Parcial

Si , usamos las siguientes alternativas de notación:[pic 76]

- Con respecto a tenemos lo siguiente: [pic 77][pic 78]

- Con respecto a tenemos lo siguiente: [pic 79][pic 80]

El símbolo se llama signo de la derivada parcial. [pic 81]

Si , entonces su notación es de la siguiente manera:[pic 82]

[pic 83]

4.1 Interpretación Geométrica de la Derivada Parcial.

Recordemos que la gráfica de representa una superficie . Si , entonces el punto esta sobre la superficie . El plano vertical interseca a la superficie en la curva (es decir , es la traza de la superficie sobre el plano . De manera semejante, al plano vertical interseca a la superficie en la curva . Ambas curvas pasan por el punto . [pic 84][pic 85][pic 86][pic 87][pic 88][pic 89][pic 90][pic 91][pic 92][pic 93][pic 94][pic 95][pic 96][pic 97][pic 98]

Observe que la curva es la gráfica de la función de manera que la pendiente de su recta tangente en el punto es . La curva es la gráfica de la función , así que la pendiente de su tangente en el punto es . [pic 99][pic 100][pic 101][pic 102][pic 103][pic 104][pic 105][pic 106][pic 107][pic 108]

[pic 109][pic 110]

[pic 111]

Por consiguiente las derivadas parciales pueden interpretarse geométricamente como las pendientes