DESARROLLO 1. Este gráfico de barra se explica de la siguiente manera.

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3.- Tres esferas idénticas son lanzadas desde la azotea de un edificio con la misma rapidez. La primera es lanzada horizontalmente, la segunda en un ángulo sobre la horizontal y la tercera en un ángulo bajo la horizontal. Si v1, v2 y v3 son las rapideces de las esferas cuando llegan al suelo, comparen estas tres cantidades. Justifiquen su respuesta.

Para este movimiento en dos dimensiones se puede descomponer el vector velocidad en sus componentes vertical y horizontal. Haciendo esto, analizaremos la componente vertical de la velocidad, ya que esta componente determina la rapidez con que la esfera toca el suelo. De hecho, si no hay roce en el suelo ni resistencia del aire, la velocidad horizontal es constante para cada bola porque no hay ninguna fuerza horizontal que acelere o frene la bola.

Asumiendo que el ángulo de lanzamiento sobre y bajo la horizontal para las esferas 2 y 3 respectivamente es el mismo, las componentes verticales del vector velocidad inicial para las bolas 2 y 3 son iguales en magnitud y opuestas en dirección. Aplicando la misma fórmula y el mismo razonamiento que se explican en el ejercicio siguiente (que resolvimos primero) se llega a la conclusión que al tocar el piso las velocidades de las esferas 2 y 3 serán iguales en su componente vertical. De hecho también son iguales horizontalmente, ya que son constantes y ambas se lanzaron con el mismo ángulo de inclinación.

Usando el mismo razonamiento y la fórmula, se concluye que la rapidez vertical al tocar el piso para la esfera 1 será menor que para las otras dos esferas, ya que al lanzarse horizontalmente, toda su velocidad inicial está en esa dirección y su velocidad vertical inicial es cero, entonces equivale a dejarla caer de la posición inicial, lo que da velocidad inicial cero en la fórmula, siendo que para las otras dos esferas la velocidad vertical inicial no es cero. Por lo mismo, su velocidad horizontal constante es mayor para esta esfera que para la 2 y 3, asumiendo las condiciones ideales mencionadas antes.

Entonces, en resumen:

- verticalmente: v1

- horizontalmente: v1 > v2 = v3 (cada una de ellas constante)

4.- Están en una azotea y lanzan una pelota hacia abajo y otra hacia arriba. La segunda pelota, después de subir, cae y también llega al piso. Si no se tiene en cuenta la resistencia del aire, y las velocidades iniciales hacia arriba y hacia abajo son iguales, ¿cómo se compararán las rapideces de las pelotas al llegar al suelo? Justifiquen su respuesta.

La rapidez de ambas pelotas al llegar al suelo es la misma. Esto se puede ver por fórmula:

= + 2 a ( - )[pic 22][pic 23][pic 24][pic 25]

Donde el cuadrado de la velocidad final en un movimiento uniformemente acelerado es igual al cuadrado de la velocidad inicial más el doble de la aceleración (g) por la variación de posición del objeto. En ambos casos, la velocidad inicial es la misma en magnitud, sólo difieren en el signo, pero al estar al cuadrado no influye, además las posiciones inicial y final son las mismas y la aceleración es constante, por lo tanto la rapidez final es la misma para ambos casos.

Pero también se puede justificar con razonamiento lógico: La pelota que es lanzada hacia arriba llega a una altura máxima cuando su velocidad instantánea es cero, y luego empieza a caer, y al pasar de vuelta a la misma altura de donde se lanzó, su rapidez será la misma que al comienzo, es decir, la velocidad será la misma pero con signo contrario ya que viene de bajada. Entonces, es como si se estuviera lanzando de nuevo desde ese punto pero hacia abajo con la misma rapidez inicial, que es exactamente la situación de la otra bola a partir de ese punto. Por lo tanto llegarán al piso con la misma rapidez.