Derivada ¿Cómo se obtiene el ángulo α entre la tangente y el eje x positivo?
Enviado por monto2435 • 14 de Noviembre de 2017 • 1.671 Palabras (7 Páginas) • 387 Visitas
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uno de ellos. La parte primordial es el trazado de curvas y a eso nos avocaremos
con más ejemplos y más trazado de gráficas tanto: dada la función trazar la
gráfica, como dada la gráfica de la derivada, trazar la gráfica de la función y
viceversa.
En la segunda sección, nos avocaremos a resolver problemas de
optimización dando los pasos necesarios para poder resolverlos, usaremos todas
las técnicas que hemos estudiado hasta el momento.
SITUACIONES QUE PROPICIAN EL ANÁLISIS DE LAS RELACIONES ENTRE
LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN Y SU DERIVADA.
En varias ocasiones se lleva registro de la velocidad en que viaja un objeto y a
partir de la gráfica de este registro, se pide que se dé una descripción de su
trayectoria, por ejemplo, las gráficas siguientes, describen velocidades de dos 70
objetos, en estas se puede preguntar cuál de los dos permaneció más tiempo
quieto, o cuál de los dos inicio su viaje más rápido, entre otras preguntas que se
pueden hacer.
El estudio de la gráfica de una función (o de la derivada de una función y
viceversa) nos permite conocer su comportamiento de su trayectoria, si realizó un
alto, si aceleró, si desaceleró o bien si la función no puede ser calculada a través
de la derivada de la función, se puede hacer apreciaciones cualitativas sobre su
trayectoria, además nos permite extrapolar o interpolar y conocer
aproximadamente resultados que no son evidentes.
COMPORTAMIENTO GRÁFICO DE UNA FUNCIÓN.
Puntos críticos.
Sea
f una función con dominio
[ , ] ab
, si
f
tiene un punto critico
c ( , ) a b si
f c ´( ) 0 o bien
f c ´( ) no existe.
Ejemplo 1. Sea
3
f x x x ( ) 12 , calcula los puntos críticos de
f en el intervalo
[ 3,4]
Solución: Calculemos la derivada de la función
f e igualémosla a cero.
2 2 f x x x x x ´( ) 3 12 3( 4) 3( 2)( 2) 0
por lo tanto
x 2 0 o
x 2 0 las soluciones son
x 2 , x 2
, los cuales son
los puntos críticos.
Ejemplo 2. Encuentra los puntos críticos de la función
2
f x x ( ) 9 .
Solución: Derivamos a la función e igualamos a cero, resolvemos la ecuación
resultante.
v
t
v
t 71
2
´( ) 0
9
x
f x
x
En este caso, la única solución es
x 0, pero la derivada de la función no existe
para
x 3 y
x 3
, por lo que los puntos críticos son:
x 3,0,3.
Crecimiento y decrecimiento de funciones.
Sea
f una función continua en un intervalo cerrado
[ , ] ab y derivable en el
intervalo abierto
( , ) a b .
a) Si
f x ´( ) 0
para toda
x en
( , ) a b
, entonces
f es creciente en
[ , ] ab .
b) Si
f x ´( ) 0 para toda
x en
( , ) a b
, entonces
f es decreciente en
[ , ] ab .
Ejemplo 3. Sea
2
f x x x ( ) 4 7 5 . Encuentra los intervalos en donde f es
creciente y decreciente.
Solución: Primero encontramos los puntos críticos, (derivamos e igualamos a
cero, resolvemos la ecuación resultante).
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