Derivadas parciales de orden superior.

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Una funci´pn racional es discontinua en los puntos donde el denominador es 0, y es continua en cualquier otra parte. Así, la función racional es continua sobre su dominio.

Derivación de orden implícita

La diferenciación implícita es una técnica para diferenciar funciones que no están dadas en la forma usual .[pic 68]

Procedimiento de diferenciación implícita

Para una ecuación que supuestamente define a de manera implícita como una función diferenciable de , la derivada de puede encontrar como sigue: [pic 69][pic 70][pic 71]

- Diferencia coda término de la ecuación respeto de y . Cuando se hace respecto a se le agrega .[pic 72][pic 73][pic 74][pic 75]

- Agrupe todos los términos que contengan en el lado izquierdo del igual y agrupe los demás términos en el lado derecho.[pic 76]

- El lado izquierdo de la ecuación se factorizará por termino común, el cual es .[pic 77]

- Despeje , tome en cuenta las restricciones.[pic 78]

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Combinación y composición de funciones

Existen diferentes formar de combinar dos funciones para crear una nueva función. Suponga que y son las funciones dadas por [pic 79][pic 80]

y [pic 81][pic 82]

Al sumar y se obtiene[pic 83][pic 84]

[pic 85]

Esta operación define una nueva función llamada suma de y , que se denota por . Su valor funcional en es de . Esto es.[pic 86][pic 87][pic 88][pic 89][pic 90]

[pic 91]

Por ejemplo,

[pic 92]

[pic 93]En general, para cualquiera función de y , se define la suma , la diferencia , el producto y el cociente como sigue:[pic 94][pic 95][pic 96][pic 97][pic 98][pic 99]

Un caso especial de . Para cualquier número real c y cualquier función se define mediante[pic 100][pic 101][pic 102]

[pic 103]

Este tipo restringido de productos se llama producto escalar. El producto escalar tiende a compartir algunas propiedades con las sumas (y restas), a diferencia de los productos (y cocientes) en general.

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[pic 104]

DEFINICIÓN

Sí y son funciones, la composición de con es la función definida por[pic 105][pic 106][pic 107][pic 108][pic 109]

[pic 110]

Donde el dominio de es el conjunto de todas las en el dominio de g, tales que esté en el dominio de [pic 111][pic 112][pic 113][pic 114]

Para y , puede obtenerse una forma sencilla para :[pic 115][pic 116][pic 117]

[pic 118]

Cuando se trata de número reales y la operación de suma, 0 es un caso especial. Para cualquier número real se tiene[pic 119]

[pic 120]

El número 1 tiene una propiedad similar con respecto a la multiplicación. Para cualquier número real , se tiene[pic 121]

[pic 122]

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Bibliografía

Matemáticas