Diseño de un envase óptimo para la exportación de ciruela aguaymanto enlatado a nivel nacional e internacional producido en la ciudad de Huancayo, maximizando el volumen y minimizando el material. Por la empresa “S.A.C. Alimentos saludables”

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Historia:

Los grandes creadores del Cálculo diferencial fueron el inglés Isaac Newton (1642--1727) y el alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-- 1716). De manera diferente pero independientemente estos grandes intelectuales de los siglos XVII y XVIII sistematizaron y generalizaron ideas y procedimientos que habían sido abordados (de diferentes maneras) y con éxito parcial desde la Antigüedad.

A partir del cálculo diferencial se pudieron calcular fórmulas, como por ejemplo, la fórmula del área de un triángulo (b)(h)/2, salió a partir de calcular el área bajo la recta de un triángulo. Ahora, existe otra cuestión fundamental, que es el hecho de que sirve para calcular velocidades; no solo de un cuerpo, sino que velocidades de crecimiento, decrecimiento, enfriamiento, separación, divergentes de fluidos, etc. citamos a continuación uno de los infinitos casos en los que el cálculo diferencial nos es muy útil en materia de construcción, tal como lo muestra el libro de (FLORES GALLEGOS & ELIZONDO, 2001, pág 23)

Cálculo de Derivadas:

Para (RUIZ ZÚÑIGA & BARRANTES CAMPOS, 1997) El Cálculo Diferencial consiste en el estudio del cambio de las variables dependientes cuando cambian las variables independientes de las funciones. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. En una gran cantidad de procesos donde se relacionan dos o más variables, frecuentemente el cambio en una de ellas induce un cambio en el valor de las otras.

Máximos y Mínimos:

Los máximos o mínimos de una función conocidos como extremos de una función, son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva o en el dominio de la función en su totalidad.

Los pasos para hallar los puntos de una función son:

- Primero se encuentra la primera derivada de la función luego se iguala a cero la primera derivada y se encuentran las raíces de la ecuación resultante.

- Estas raíces son los valores críticos de la variable, se consideran los valores críticos uno por uno y se calculan los signos de la primera derivada en primer lugar para un valor un poco menor que el valor crítico y después para un valor un poco mayor que el valor crítico.

- Si el signo de la derivada es positivo (+) y después (–) la función tiene un máximo para este valor crítico de la variable, en caso contrario tiene un mínimo. Si el signo no cambia la función no tiene ni máximo ni mínimo. (PURCELL & RIGDON, 2007, pág. 151)

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Funciones Implícitas:

Una correspondencia o una función está definida en forma implícita cuando no aparece despejada la Y sino que la relación entre X e Y viene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero. Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar Y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que: x'=1. En general y'≠1.

Las aplicaciones del cálculo diferencial son muchas y una de ellas son los problemas de optimización, en los cuales nos pide la manera óptima de hacer algo. Los métodos para hallar la optimización de una función lo hemos aprendido en este ciclo, tienen aplicaciones prácticas en muchas áreas de la vida diaria o cotidiana. Estos nos ayudaran a resolver problemas como de maximizar áreas, volúmenes, utilidades y minimizar distancias, tiempos y costos, etc.

Optimización de recursos:

Se refiere a la forma de mejorar alguna acción o trabajo realizada, esto nos da a entender que la optimización de recursos es buscar la forma de mejorar el recurso de una empresa para que esta tenga mejores resultados, también la optimización de los recursos, es una grandiosa técnica para llevar a cabo ideas de ingenieros debido a que se basa en la eficacia y la eficiencia para alcanzar grandes objetivos utilizando la menor cantidad de recursos posibles.

En la solución de estos problemas prácticos, la dificultad más grande es convertir el problema en palabras a un problema matemático de optimización, establecer la función que debe maximizarse o minimizarse. Para ellos se debe seguir los pasos de solución:

- Comprender el problema:

Lo primero que se debe hacer es leer el problema hasta entenderlo muy bien y poder sacar los datos que nos dan en los problemas y también la función a optimizar: para ello debemos responder las siguientes preguntas ¿Cuáles son los datos que nos dan?, ¿Cuáles son las cantidades dadas?, ¿Cuáles son las condiciones dadas?, ¿cuál es la función a optimizar?

- Realiza un dibujo:

La mayoría de los problemas, necesitan de un gráfico para poder desarrollarlo, y allí podremos colocar los datos que nos dan y también colocar las variables necesarias para desarrollar el problema dado.

- Introduzca notación:

Asigne un símbolo a la cantidad que se va a maximizar o minimizar (llamémosla Z por ahora). Asimismo, seleccione los símbolos (a, b, c, v, l, t, h…, x, y) para las otras cantidades desconocidas y marque el diagrama con estos símbolos sugerentes: por ejemplo, A para el área, t para el tiempo, v para el volumen, h para la altura, l para la longitud etc.

- Encontrar la función auxiliar.

- Realice una ecuación que esté en base de una solo variable para poder derivar.

- Después de derivar hallamos los números críticos en la función ya derivada para hallar el valor máximo o mínimo requerido y reemplazar en las otras funciones si es que haya sido una función de más variables.

- Finalmente interpretar el problema si lo requiere.

- DESARROLLO DEL PROBLEMA

ENVASE METÁLICO CON SUS CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS

[pic 2]

Lc= Longitud de la circunferencia

Ao= Área de la circunferencia

SL=Superficie lateral del cilindro

ST= Superficie total del cilindro