Distribución discreta.

...

[pic 13]

Un motor de automóvil de 8 cilindros tiene dos bujías que fallan. Si se quitan las cuatro bujías de un lado del motor, ¿cuál es la probabilidad de que entre ellas se encuentren las dos que tienen fallas?

Solución: Se tienen como datos:

N= 8.

k= 2.

n=4, y lo que se pide es x=2.

Sustituyendo estos valores en la función de la distribución hipergeometrica nos da:[pic 14]

Aplicado a Bioquímica

¿Cuál es la probabilidad de que una la maestra de Dibujo detecte solamente 2 alumnos que están copeando en un examen, si selecciona aleatoriamente 6 de 18 alumnos 8 de las cuales contienen algún tipo de acordeón?

Solución: Se dan los valores:

N= 18, n=6, k=8

Y se busca la probabilidad para cuando x=2; entonces:[pic 15]

DISTRIBUCION POISSON

Los experimentos que resultan en valores numéricos de una variable aleatoria X, misma que representa el número de resultados durante un intervalo de tiempo dado o en una región especifica, frecuentemente se llaman experimentos de Poisson.

El intervalo de tiempo dado puede ser de cualquier duración, por ejemplo un minuto, un día, una semana, un mes, o inclusive un año.

Un experimento de Poisson surge del proceso de Poisson y tiene las siguientes propiedades:[pic 16]

1.- El numero de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo o región específicos es independencia del numero que ocurre en cualquier otro intervalo disjunto de tiempo o región del espacio disjunto. De esta manera se dice que el proceso de Poisson no tiene memoria.

2.- La probabilidad de que un resultado sencillo ocurra en un intervalo de tiempo muy corto o en una región pequeña es proporcional a la longitud del intervalo de tiempo o al tamaño de la región y no depende del número de resultados que ocurren fuera de este intervalo o región.

3.- La probabilidad de que mas e un resultado ocurra en ese intervalo de tiempo tan corto o en esa región tan pequeña es despreciable.

- EJEMPLOS:

La llegada de clientes en una caja de una tienda departamental tiene una distribución de Poisson con un promedio de 8 por hora, y toma 10 minutos atender a cada cliente. Para una hora determinada, calcular la probabilidad de que:

- Lleguen exactamente 8 clientes.

- No lleguen más de 3 clientes.

- Lleguen por lo menos 2 clientes.

- La media.

Solución: Se tiene para los tres incisos que λ=8, por lo que:

- Se busca la probabilidad para las condiciones x=8 y λ=8; por lo que se busca la probabilidad de estas condiciones en una tabla de función de distribución de Poisson y se obtiene:

p=0.593, como esta probabilidad es acumulada, a este valor se le tiene que restar la probabilidad para x=7 (0.453) y de esta manera se tiene la probabilidad exactamente para 8 clientes; lo que es:[pic 17]

- La expresión “no lleguen más de 3 clientes”, significa que llegue 1, 2 ó 3 clientes. Por lo que sería la probabilidad acumulada hasta x=3, entonces se recurre a una tabla de función de distribución de Poisson acumulada y tenemos como resultado:[pic 18]

- Que lleguen por lo menos 2 clientes, es lo mismo que decir que arriban 2 o más clientes, por lo que si a 1 (la probabilidad total acumulada) se le resta la probabilidad acumulada hasta x=1, dará el valor que se busca:[pic 19]

- Como E(x)=λt, entonces [pic 20]

EJERCICIOS PROPUESTOS:

BINOMIAL:

- La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad de la sangre es 0.4. si se sabe que 15 personas han contraído esta enfermedad, ¿Cual es la probabilidad de que: a) al menos 10 sobrevivan.[pic 21]

B) sobrevivan exactamente 5 personas

Solución: sea X el número de personas que sobreviven.

- P(X≥10)=1-P(X˂10)

=1-[pic 22]

=1-0.9662

=0.0338

- P(X=5)=B(5;15,0.4)

=[pic 23]

=0.4032-0.2173

=0.1859

- [pic 24]

Encuentre la media y la varianza de la variable aleatoria binomial y entonces utilice el teorema de chebyshev para interpretar el intervalo µ ± 2ҩ.

Solución: dado que el ejemplo anterior se trato de un experimento binomial con n=15 y p=0.4, se tiene:

µ=(15)(0.4)=6 y ҩ2=(15)(0.4)(0.6)=3.6

Al sacar la raíz cuadrada de 3.6 se encuentra que ҩ=1.897. como el intervalo requerido es 6±(2)(1.897), o de 2.206 a 9.794. El teorema de Chebyshev establece que el numero de pacientes que se recuperan de un total de 15 y se encuentran sujetos a la enfermedad en cuestión, misma que tiene una probabilidad de al menos 3/4 , está entre 2.206 y 9.794, o debido a que se trata de datos discretos, entre 3 y 9 inclusive.

- La probabilidad de que un paciente se recupere de una enfermedad de la sangre es de 0.4. si se sabe que 100 personas contraen esta enfermedad. ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 30 sobrevivan?

Solución: Represente con la variable binomial X el número de pacientes que sobreviven, como n=100, debemos obtener resultados bastante precisos con el uso de la aproximación de la curva normal con

µ=n p= (100)(0.4)=40

[pic 25]= [pic 26]

Para obtener la probabilidad deseada, tenemos que encontrar el área izquierda de x=29.5. El valor z que corresponde a 29.5 es

Z=[pic