VARIABLE ALEATORIA DISCRETA (V.A.D)

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DE DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI

Función de probabilidad que toma 2 valores solamente (presencia o ausencia de determinado atributo). Si el atributo no se presenta, a la variable se le asigna el valor cero; si el atributo se presenta, a la variable se le asigna el valor uno.

Ejemplo: tiro una moneda, Cara = 0 y ceca = 1, entonces la función sería:

X p (X)

0

1 ½

½

Total 1

En General

S= { A ; Ac }

A= ÉXITO 1 ; AC = NO ÉXITO 0

P(A)=P(1)= p ; P(AC)=P(0)= 1- p

Definición:

La cantidad de elementos con un determinado atributo que se presenta en una observación de un experimento aleatorio dicotómico, es una Variable Aleatoria Discreta X, cuya función de probabilidad es la Distribución de Bernoulli , dada por :

P(X=xi) = px . (1- p)1-x , 0 ≤ X ≤ 1 ˄ X N0

Condiciones:

P(Xi) ≥ 0

∑ P(Xi) = 1

Repetición de un Experimento Aleatorio Dicotómico:

La repetición de este tipo de experimento da origen a dos funciones de distribución (Distribución Binomial y Distribución Hipergeométrica). Cada vez que el experimento aleatorio dicotómico se repite, los elementos que tengan el atributo considerado pueden presentarse o no (es aleatorio), entonces, en las “n” repeticiones del experimento, habrá algunos elementos que tengan atributo, o ninguno, o todos.

Para definir completamente una variable aleatoria discreta se necesitan conocer las probabilidades puntuales correspondientes a cada valor xi, de la variable X.

El cálculo de cada una de las probabilidades conjuntas se realiza de manera distinta dependiendo de la independencia o dependencia de las observaciones, dando origen a las funciones de Distribución Binomial y Distribución Hipergeométrica, respectivamente.

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Considerando el caso donde las n observaciones son independientes, es decir que la probabilidad de que se presente un elemento con un determinado atributo permanece constante a través de las n pruebas.

Como sabemos, si los sucesos son independientes (sólo en este caso) la probabilidad conjunta es igual al producto de las probabilidades simples.

Por ejemplo el caso de las tiradas(más de una vez)de las monedas, visto en clase.

Definición:

La cantidad de elementos con un determinado atributo que se presentan en “n” observaciones independientes de un experimento aleatorio dicotómico, es una Variable Aleatoria Discreta X, cuya función de probabilidad es la Distribución Binomial, dada por :

P(X=xi) = Cn,x . px . (1- p)n-x , 0 ≤ X ≤ n ˄ X N0

Condiciones:

P(Xi) ≥ 0

∑ P(Xi) = 1

SI EL PROBLEMA TRABAJA CON PORCENTAJES, NECESARIAMENTE DEBO TOMAR LOS SUCESOS COMO INDEPENDIENTES, YA QUE NO PUEDO SABER LA CANTIDAD EVALUADA.

Ejemplos de experimentos donde se usa la Binomial:

Tiradas de Monedas.

Extracciones con reposición

Elecciones de personas “sin reposición” de una población cuando el número de personas es muy grande.. Porque si bien, la persona “No se repone” y el espacio muestral cambia. El hecho de que esa persona no esté no altera las probabilidades iniciales. O también cuando los datos están dados en porcentajes, porque tampoco se modifican esos porcentajes si se repone o no a la persona.

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

Este modelo que también está referido a n repeticiones de un experimento aleatorio dicotómico, pero, cuando las observaciones son dependientes, es decir que la probabilidad de que se presente un elemento con un determinado atributo No permanece constante a través de las “n” pruebas.

Como los sucesos no son independientes las probabilidades conjuntas no se calculan como producto de las probabilidades simples.

Definición:

La cantidad de elementos con un determinado atributo que se presentan en “n” observaciones dependientes de un experimento aleatorio dicotómico, es una Variable Aleatoria Discreta X, cuya función de probabilidad es la Distribución Hipergeométrica, dada por :

P(X=xi)= ((C N1, x).( C N2, n-x))/((C N,n )) , n= cantidad de extracciones sin reposición

N= N1+N2= cantidad total de elementos

N1=cantidad de elementos exitosos; N2= cantidad total de elementos no exitosos

n ≤ N ; n-x ≤ N2 ˄ X N0

Condiciones:

P(Xi) ≥ 0

∑ P(Xi) = 1

De todo lo que se trabajó, se pueden destacar las siguientes diferencias entre los experimentos con y sin reposición:

Ejemplos de experimentos donde se usa la Hipergeométrica:

Extracciones con reposición

Elecciones de personas “sin reposición” de cualquier muestra o población. Excepto cuando no tenemos el dato de la cantidad total de personas de dicha muestra o población.

Con reposición:

El espacio muestral no se modifica a medida que avanza el experimento

La probabilidad de un