Estadística (introducción, probabilidad, variables aleatorias, principales distribuciones de probabilidad [poblacional]).
Enviado por Rimma • 24 de Febrero de 2018 • 1.785 Palabras (8 Páginas) • 491 Visitas
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- f(x) ≥ 0
- (condición de cierre)[pic 3]
- [pic 4]
Cuando la graficamos con un histograma y su correspondiente polígono de frecuencias, a medida que aumenta el tamaño de la muestra y se reduce la amplitud de los intervalos de las clases, el polígono tiende a ser una curva denominada curva de densidad (es la gráfica de la función de densidad de probabilidad f(x) y encierra un área igual a 1).
Para una variable aleatoria X, la función de distribución de probabilidad acumulada, F(x), se define como: [pic 5]
- Si la variable es discreta: [pic 6]
- Si la variable es continua: [pic 7]
Propiedades de la distribución cumulada:
- [pic 8]
- [pic 9]
- [pic 10]
- [pic 11]
Sea X una variable aleatoria, llamaremos esperanza matemática, valor esperado o promedio poblacional y lo simbolizaremos con E(X) o μ, al valor que se obtiene mediante:
- Si X es discreta → [pic 12]
- Si X es continua → [pic 13]
Cualquier función H(X) de una variable aleatoria X define una nueva variable aleatoria, cuya esperanza matemática se calcula como:
- → si X es discreta[pic 14]
- → si X es continua[pic 15]
Propiedades de la Esperanza Matemática
Si c y d son constantes cualesquiera y X una variable aleatoria,
- [pic 16]
- [pic 17]
- [pic 18]
Si X e Y son dos variables aleatorias cualesquiera,
- [pic 19]
Sea X una variable aleatoria, llamaremos varianza poblacional y lo simbolizaremos con σ2, al valor definido por: [pic 20]
- → si X es discreta[pic 21]
- → si X es continua[pic 22]
Formas abreviadas:
- → si X es discreta[pic 23]
- → si X es continua[pic 24]
El desvío estándar poblacional de la variable aleatoria X, que notaremos con , es la raíz cuadrada positiva de la varianza de X.[pic 25]
Propiedades de la Varianza
Si c y d son constantes cualesquiera y X una variable aleatoria,
- → porque al intervenir una constante sumada, esa constante no tiene variabilidad[pic 26]
- [pic 27]
- [pic 28]
La variable aleatoria definida por: recibe el nombre de variable aleatoria estandarizada. Se comprueba que:[pic 29]
- [pic 30]
- [pic 31]
Unidad IV
Distribuciones Discretas:
- Binomial
- Hipergeométrica
- Poisson
Distribuciones Continuas
- Uniforme
- Normal
- Exponencial
Distribución de Bernoulli → Una experiencia con dos resultados posibles (éxito o fracaso). La propabilidad de que ocurra una (A) es p, y la de que ocurra la otra (Ā) es 1-p. X sería, cuando sucede el evento A en una realización de la experiencia (y asume el valor 1) y el complemento de A sería 0. Luego, la correspondiente función de probabilidad es: con [pic 32][pic 33]
Además, se demuestra que:
- [pic 34]
- [pic 35]
Distribución Binomial → n ensayos de Bernoulli independientes, de manera que P(A) = p, es la misma para cada ensayo. X sería cantidad de veces que ocurre el evento A en las n repeticiones.[pic 36]
Bajo estas condiciones, se dice que X tiene una distribución binomial de parámetros n y p. Simbólicamente, X ̴ Bi(n, p). Se demuestra que: [pic 37][pic 38]
El modelo Binomial es válido si:
- La población es infinita
- La población es finita pero la selección se realiza con reposición
- La población es finita pero el tamaño de muestras es tal que N/n>10
Si ninguno se cumple la variable X tiene una Distribución Hipergeométrica
Para esta distribución se definen una población total (N), una muestra (n) y la parte de la población que corresponde al suceso A (NA). Y x viene dado por lo que te pide (ejemplo: si X es número de defectuosos y te pide sean todos defectuosos podes calcular la probabilidad de que x=0 es decir que ninguno sea defectuoso y después hacer 1 –P(x=0) para sacar la probabilidad de que todos sean defectuosos)[pic 39]
Se lee: (probabilidad de escoger x éxitos y n - x fracasos en un total de n repeticiones) dividido (distintas maneras de escoger n elementos de una población N)
A su vez, [pic 40][pic 41]
Distribución de Poisson
Se da en el espacio físico o en un tiempo fijo, con X variable aleatoria con valores no negativos. Se define un parámetro λ > 0 (la distribución está tabulada para distintos valores de λ). λ es el número esperado de eventos en dicho período o región
A su vez coinciden la Esperanza y la varianza que son ambas iguales a λ[pic 42]
Se puede utilizar para aproximar distribuciones binomiales cuando:
- n > 30
- p
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