Dos pruebas para diagnóstico clínico

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- Bajo el modelo de la Independencia Asunción

Dos pruebas de diagnóstico se indican, respectivamente, por T1 y T2 donde Tν = 1 es en relación con un resultado positivo para la prueba ν, ν = 1, 2 y νT= 0 se relaciona con unaresultado negativo. En la Tabla 1 tenemos una representación genérica de las pruebas de comparacióncon una prueba de referencia ideal. Si el diseño del estudio implica que los individuos conresultado negativo en ambas pruebas no son verificadas por un libre control del error para clasificarlos individuos (“Gold Standard”), los valores d, h, n + y n - (mostrado entre paréntesis),

se desconoce si bien la suma u =(n +) +( n -) es conocida.

[pic 1]

TABLA1:Resultados de las pruebas. Los valores entre paréntesis son desconocidos bajo el sesgo de verificación

Denotemos por p la prevalencia de una enfermedad y por D el estado verdadero, cuandoD = 1 denota un individuo enfermo y D = 0 denota un individuo no enfermo.Es decir, p = P (D = 1). Las sensibilidades son dadas por S ν = P (T ν = 1 | D = 1)y las especificidades son dados por E ν = P (Tν = 0 | D = 0).

Para el modelo supuesto de independencia, utilizamos el procedimiento de estimación bayesiana

desarrollado por Martínez et al. (2005) para obtener las contribuciones de probabilidadde los ocho posibles combinaciones de resultados entre los ensayos y estado de enfermedad como verdaderaaparecer en la columna de la izquierda en la Tabla 2.

2.2. Modelo Bajo estructura de dependencia binario

Para un modelo de estructura binaria, asumimos como parámetro de dependencia, una positivacovarianza entre las pruebas basadas en la distribución de Bernoulli conjunta. Asumimosque la dependencia entre las pruebas es similar en población enferma y no enfermalas de la misma manera que examinó Dendukuri y Joseph (2001) para obtener elcontribuciones a la función de verosimilitud de las ocho combinaciones de resultados entre eldos pruebas de diagnóstico y el patrón oro. Los resultados se mostraron en la Tabla 2.

[pic 2]

TABLA2 contribuciones verosimilitud de todas las combinaciones posibles de los resultados de T1, T2 y D.(f yo= Número de individuos en la celda i; i = 1, 2,. . . , 8. Los valores en soportes son desconocidos bajo el sesgo de verificación).

2.3. Modelo Suponiendo una estructura de dependencia Cópula

Supongamos que los resultados de las pruebas son realizaciones de las variables aleatoriasV1 y V 2 medido en una escala continua positiva (V 1 > 0 y V 2 > 0), querepresentar la expresión de dos rasgos biológicos cuyo comportamiento se ve alterado por lapresencia de proceso de la enfermedad o infección. Además, supongamos que los dos valores de corteξ1 y ξ 2 se eligen para cada prueba a fin de determinar cuando un individuo estáclasificados como positivo o negativo. De este modo se supone que un individuo esclasificado como positivo para pruebaν SI V ν >ξi νes decir, Tν = 1 si y sólo si V ν > ξ ν paraν = 1, 2. Para modelar la estructura de dependencia entre las variables aleatorias V1 yV2, Consideremos el uso de las funciones cópula, que ha sido estudiado por muchos autores (Nelsen (1999) es un libro clásico sobre este tema). Distribución multivariante funciones F se puede escribir en la forma de una función cópula, es decir, si F (1v,. . . vm) es una función de distribución multivariante conjunta con distribución marginal univariado

funcionesF 1(v1),. . . , Fm(vm) por lo tanto existe una función cópula C(u1,. . . , um)de tal manera que,

F(v1, . . . , vm) = C(F1(v1), . . . , Fm(vm)) (1)

Cuando las distribuciones marginales son continuas, existe siempre una función cópulay se puede encontrar a partir de la relación

C(u1, . . . , um) = F(F −1 1 (u1), . . . , F −1 m (um)) (2)

Para el caso especial de las distribuciones de dos variables, tenemos m = 2. El enfoquepara formular una distribución multivariante mediante una cópula se basa en la idea de queuna transformación sencilla (U = F 1(V1) Y W = F 2(V2)) Se puede hacer de cadamarginal variable de tal manera que cada variable marginal transformado tiene unadistribución uniforme. Especificación de dependencia entre V 1 y V 2 es lo mismo queespecificando la dependencia entre U y W, por lo que el problema se reduce a especificar una distribución bivariada entre dos variables uniformes, que es una cópula.

2.3.1. Teniendo en cuenta la dependencia Modelo Tipo MGF Cópula

El tercer modelo considerado para el estudio de la estructura de dependencia para dospruebas, se basa en la cópula GumbelFarlieMorgenstern (MGF) ampliamente estudiado por autores como Nelsen (1999), Amblard y Girard (2002, 2005, 2008). La cópula MGFse define por,

CI (u, w) = uw[1 + ϕ(1 − u)(1 − w)] (3)

Donde u = F 1(v1), W = F2(v2) Y ϕ es un parámetro cópula tal que -1 ≤ ϕ ≤ 1.Si ϕ = 0, tenemos dos variables aleatorias independientes marginales. Suponemos diferenteparámetros ϕ D y ϕ NDpara individuos enfermos y no enfermos, respectivamente.

A partir de (3 ) la distribución conjunta acumulada y la función de supervivencia para unirselas variables aleatorias V1 y V 2 es dado por,

FI (v1, v2) = CI (F1(v1), F2(v2)) = F1(v1)F2(v2)[1 + ϕ(1 − F1(v1))(1 − F2(v2))] (4)

S(v1, v2) = P(V1 > v1, V2 > v2) = 1 − F1(v1) − F2(v2) + F(v1, v2) (5)

Dentro del grupo de las personas enfermas, que tenemos,

F D 1 (ξ1) = P(V1 ≤ ξ1|D = 1) = 1 − S1

F D 2 (ξ2) = P(V2 ≤ ξ2|D = 1) = 1 − S2

A partir de (4), tenemos

FD(ξ1, ξ2) = F D 1 (ξ1)F D 2 (ξ2)[1 + ϕ(1 − F D 1 (ξ1))(1 − F D 2 (ξ2))]

= (1 − S1)(1 − S2)(1 + ϕDS1S2)

Ya partir de (5) que tenemos,

P(T1 = 1, T2 = 1|D = 1) = SD(ξ1, ξ2)

= 1 − (1 − S1) − (1 −