El operador derivada surge ante la necesidad de dar una respuesta a dos preguntas fundamentales.

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Aplicaciones de la Razón de Cambio Instantánea o Derivada de la función inicial [pic 58]Estas son algunas aplicaciones de la derivada.

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DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

Introducción: La derivada se define como la razón de cambio instantánea que se presenta entre variables, es de amplia aplicación en la física, la economía, administración, la geometría, etc.

Para su estudio, se aplican algunas reglas que nos permiten obtener la derivada de una función bien sea porque este expresada en forma explícita o implícita.

Derivada de una función Constante: [pic 60]

Ejemplo: [pic 61]

Derivada de la función potencia: [pic 62]

Ejemplo: [pic 63]

Derivada de un producto de funciones:

[pic 64]

Ejemplo: Obtener la derivada de [pic 65]

Solución: Seleccionemos las funciones [pic 66] y obtenemos de cada una de ellas su derivada

[pic 67][pic 68][pic 69]

[pic 70]

Derivada de un cociente de funciones

[pic 71]

Ejemplo: Obtener la derivada para la siguiente función [pic 72]

Solución: Selecciones las funciones y obtenemos de cada una de ellas sus derivadas.

[pic 73][pic 74][pic 75]

[pic 76]

Aplicación Geométrica de la Derivada

Introducción: La derivada como operador, nos permite hallar la pendiente a una curva en un punto determinado, conocido como punto de tangencia. Al tener la pendiente y el punto de tangencia, podemos hallar la ecuación de la recta tangente que pasa por dicho punto.

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva [pic 77]

Solución: Para obtener la ecuación de la recta tangente, debemos realizar los siguientes pasos.

Paso 1: Hallar la pendiente, la cual se obtiene con la derivada de la función y evaluando en ella el valor indicado

[pic 78]

Paso 2: El punto de tangencia, lo obtenemos al evaluar el valor [pic 79], en la función [pic 80], para poder encontrar las coordenadas del punto.

[pic 81]

Punto de Tangencia [pic 82]

Paso 3: Si se conoce el valor de la pendiente y las coordenadas del punto de tangencia, aplicamos la fórmula [pic 83], para determinar la ecuación de la recta tangente.

[pic 84][pic 85]

[pic 86]

Ejercicios: Halle la ecuación de la recta tangente para cada una de las curvas en el valor indicado.

[pic 87]

[pic 88]

[pic 89]

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FUNCIONES TRASCENDENTES

En el estudio de Funciones Reales, denominamos funciones trascendentes, aquellas funciones que admiten otros operadores diferentes del operador, suma, resta, multiplicación, división y potenciación como son La función Exponencial, Función Logarítmica y Función trigonométrica.

FUNCIONES TRASCENDENTES[pic 91]

[pic 92][pic 93][pic 94][pic 95]

Trigonométrica

Exponencial Logarítmica

FUNCION EXPONENCIAL [pic 96][pic 97]

Ejemplos [pic 98]

Grafica de la Función Exponencial: [pic 99]

Si la base de la función exponencial es mayor que 1 ([pic 100]), su gráfica es creciente.

Ejemplo: Graficar [pic 101]

[pic 102] Tabla de valores

x

y

[pic 103]

Si la base de la función exponencial es mayor que 0 y menor que 1 ([pic 104]), su gráfica es decreciente.

Ejemplo: Graficar [pic 105]

[pic 106]

Tabla de valores

x

y

[pic 107]

PROPIEDADES

- El Dominio de la función exponencial es el conjunto de los números reales.

[pic 108]

- El Rango o conjunto de imágenes, son los números reales positivos

Rango: [pic 109]

- El eje horizontal o eje x, es una asíntota.

[pic 110]

Ejemplo1: Obtener la derivada para [pic 111]

[pic 112]

Ejemplo2: Halle la derivada para [pic 113]

[pic 114] Aplicando la derivada de un producto de funciones[pic 115][pic 116]

[pic 117]

Ejemplo3: Halle la derivada para [pic 118]

[pic 119] Aplicando la derivada de un cociente de funciones[pic 120][pic 121]

[pic 122]

Aplicación Geométrica

Ejemplo: Halle la ecuación