Estimación de Parámetros

...

el estimado muestral P que por lo general , mostrara ser satisfactorio si N es mayor o igual a 30.

Intervalos de Confianza para Diferencias y Sumas

Si S1 y S2 son dos estadísticos muéstrales con distribuciones de muestreo aproximadamente normales, entonces los limites de confianza se puede usar para la diferencia de los parámetros poblacionales correspondientes a S1 y S2 están dados por :

S1 y S2 ± zc s1 - s2

Intervalos de Confianza para Desviaciones Estándar

Los limites de confianza para la desviación estándar  de una población normalmente distribuida, estimados a partir de una muestra con desviación estándar s, están dados por :

S + - Zc s = s ± Zc /

Para calcular estos limites de confianza se utiliza s o
para estimar 

Error Probable

Los limites de confianza de 50% de los parámetros poblacionales correspondientes al estadístico S dados por S + - 0.675 s la cantidad de 0.675 s es conocida como error probable de la estimación.

“ Problemas Resueltos “

Estimados sin Sesgo y eficientes

1.- De un ejemplo de estimadores y estimados que sean a).- sin sesgo y eficientes , b).- sin sesgo e ineficientes y c).- sesgados e ineficientes

Solución

a).- La media maestral x y la varianza maestral modificada

2 =( N/ N-1 ) s2

b).- La media muestral y el estadístico muestral ½ (Q1 + Q3) donde Q1 y Q3 son los cuartiles inferior y superior , son dos de dichos ejemplos. Ambos estadísticos son estimados sin sesgo de la media poblacional, ya que la media de sus distribuciones muéstrales es la media poblacional.

c).- La desviación estándar muestral s , la desviación estándar modificada
, la desviación media y el rango semiintercuartilar son cuatro de dichos ejemplos

2.- En una muestra de cinco mediciones , los registros de un científico para el diámetro de una esfera fueron 6.33, 6.37, 6.32, 6.37 centímetros. Determine estimados sin sesgo y eficientes de a) la media verdadera y b) la varianza verdadera.

Solución

a).- el estimado sin sesgo y eficiente de la media verdadera , es decir , la media poblacional es :

x = x / N = 6.33 + 6.37 + 6.36 +6.32 + 6.37 / 5 = 6.35 cm

b).- El estimado sin sesgo y eficiente de la varianza verdadera , es decir la varianza poblacional es :

2 = ( N / N - 1 ) s2

(6.33 - 6.35 )2 + ( 6.37 - 6.35 ) 2 + ( 6.32 - 6.35 ) 2 + ( 6.37 - 6.35 )2 / 5 - 1 = 5.5 x 10 - 4 cm2

3.- Suponga que las estaturas de 100 estudiantes hombres de la universidad XYZ representan una muestral aleatoria de las estaturas del total de 1546 estudiantes de la universidad. Determine los estimados sin sesgo y eficientes de a) la media verdadera y b) la varianza verdadera.

Solución

a) Del problema , el estimado sin sesgo y eficiente de la estatura media verdadera es x = 67.47 pulgadas

b) Del problema el estimado sin sesgo y eficiente de la varianza verdadera es :

2 = ( N/ N-1 ) s2 = (100/99 ) 8.5275 = 8.6136

Por lo tanto
= "8.6136 = 2.93 pulgadas. Obsérvese que dado que N es grande esencialmente no existe diferencia entre
y
2 .

4.- De un estimado sin sesgo e ineficiente del diámetro medio verdadero de la esfera del problema 2.

Solución

La mediana es un ejemplo de un estimado sin sesgo e ineficientes de la media poblacional. Para las cinco mediciones, ordenadas por magnitud, la media es 6.36 cm

5.- En una muestra de cinco mediciones , los registros de un científico para el diámetro de una esfera fueron 6.33, 6.37, 6.33, 6.38 centímetros. Determine estimados sin sesgo y eficientes de a) la media verdadera

Solución

a).- el estimado sin sesgo y eficiente de la media verdadera , es decir , la media poblacional es :

x = x / N = 6.33 + 6.37 + 6.36 +6.33 + 6.38 / 5 = 6.354 cm

6.- Suponga que las estaturas de 10 estudiantes hombres de la universidad XYZ representan una muestral aleatoria de las estaturas del total de 100 estudiantes de la universidad. Determine los estimados sin sesgo y eficientes de

Solución

a) Del problema el estimado sin sesgo y eficiente de la varianza verdadera es :

2 = ( N/ N-1 ) s2 = (10/9 ) 8.5275 = 9.47

7.- De un estimado sin sesgo e ineficiente del diámetro medio verdadero de la esfera del problema 2.

Solución

La mediana es un ejemplo de un estimado sin sesgo e ineficientes de la media poblacional. Para las cinco mediciones, ordenadas por magnitud, la media es 6.36 cm

Intervalos de Confianza para Medias

8.- Calcule los intervalos de confianza a) a 95% y b) 99% para estimar la estatura media de los estudiantes de la universidad veracruzana del problema 3.

Solución

a) Los limites de confianza a 95% son x ± 1.96 / ( N )1/2 . Usando x = 67.45 pulg. y
= 2.93 pulgadas como un estimado de , los limites de confianza son 67.45 ± 0.57 pulgadas. Por lo tanto, el intervalo de confianza a 95% para la media poblacional  es de 66.88 a 68.02 pulg. Que puede expresarse como 66.08 menor que  menor que 68.21.

Para obtener los intervalos de confianza anteriores, se considero que la población era infinita o tan grande como para realizar un muestreo con remplazamiento. En el caso de poblaciones finitas, donde el muestreo se hace sin remplazamiento se debe utilizar :