FACTORIZACION. Factorizar completamente cada uno de los siguientes polinomios

...

(a + b – 1)2 – (a – b + 1)2 = 4 a (b – 1)

g) 125 a3 + 8b3

Solución: Esta es una suma de cubos. Se le saca la raíz cúbica a cada término y luego se aplica: a3 + b3 = (a + b) (a2 – a b + b2). Por tanto,

125 a3 + 8b3 = (5a)3 + (2b)3 = (5a + 2b) [(5a)2 – (5a) (2b) + (2b)2]

= (5a + 2b) (25a2 – 10a b + 4b2)

h) (x – 1)3 – (1 – x)3

Solución: Se trata de una diferencia de dos cubos, por lo que se aplica:

a3 – b3 = (a – b) (a2 + a b + b2). Entonces,

(x – 1)3 – (1 – x)3 = [(x – 1) – (1 – x)] [(x – 1)2 + (x – 1) (1 – x) + (1 – x)2]

desarrollando: = [x – 1 – 1 + x] [x2 – 2x + 1 + x – x2 – 1 + x + 1 – 2x + x2]

Simplificando: = [2x – 2] [–2x + 2x + 1 – 2x + x2] factorizando y simplificando:

= 2 (x – 1) (x2 – 2x + 1) = 2 (x – 1) (x – 1)2, entonces,

(x – 1)3 – (1 – x)3 = 2 (x – 1)3

i) 27 a3 + 27 a2 b + 9ab2 + b3

Solución. Este caso se reconoce porque el polinomio tiene 4 términos y dos de ellos son cubos perfectos (tienen raíces cúbicas exactas); enseguida se debe ordenar para ver si se trata del cubo de un binomio. En este caso, el polinomio está ordenado y ahora hay que comprobar si se cumplen las condiciones. Se procede así:

Se saca la raíz cúbica del 1º y el 4º término: y

El 2º término, debe ser el triple del cuadrado de la primera raíz cúbica por la segunda:

3 (3 a)2. b = 3 (9 a2). b = 27 a2 b

El tercer término, debe ser el triple de la primera raíz por el cuadrado de la segunda:

3 (3 a) (b)2 = 9ab2

Como se cumplen todas las condiciones, y además, todos los términos son positivos, se trata del cubo de una suma. Entonces, se suman las raíces cúbicas, se encierran entre paréntesis y luego se eleva al cubo. O sea,

27 a3 + 27 a2 b + 9ab2 + b3 = (3 a + b)3

↓ ↓

3a b

3(3 a)2. b

3(3 a). b2

j) 8m3 + 96mn2 – 64n3 – 48m2 n

Solución: El polinomio tiene 4 términos y dos de ellos son cubos perfectos, entonces, hay que ordenarlo con relación a la letra m:

8m3 – 48m2 n + 96mn2 – 64n3

Como los signos van alternados, se trataría del cubo de una diferencia y se factoriza como en el ejemplo anterior:

8m3 – 48m2 n + 96mn2 – 64n3 = (2m – 4n)3

↓ ↓

2m 4n

3(2m)2(4n)

3(2m) (4n)2

k) x2 – 7x + 12

Solución: Es un trinomio, pero no cuadrado perfecto, sino de la forma x2 + bx + c. Se abren dos paréntesis y se saca la raíz cuadrada de x2, la cual se distribuye en cada uno de los paréntesis. Se coloca el signo del segundo término en el primer paréntesis y en el segundo, el producto de los signos del 2º y tercer término. Así:

x 2 – 7x + 12 = (x – ) (x – )

Ahora se buscan dos números que multiplicados den 12 y sumados (porque tienen signos iguales) den 7. Estos son 4 y 3. Se coloca primero el mayor y en el segundo paréntesis, el menor. Entonces,

x 2 – 7x + 12 = (x – 4) (x – 3)

l) 3x2 – 5x – 2

Solución: Es un trinomio de la forma ax2 + b x + c. Hay dos maneras de factorizarlo:

·1ª forma:

Se multiplica y se divide por 3 el polinomio dado, de manera que el primer término quede expresado como un cuadrado perfecto, o sea, (3x)2; en el segundo término se deja indicada la multiplicación, de manera, que se vea la raíz cuadrada del primero, o sea, 5(3x) y en el último término, se hace la multiplicación ordinaria. Por lo tanto,

3x2 – 5x – 2 =

ahora se factoriza como en el ejemplo anterior, resultando,

3x2 – 5x – 2 =

Se buscan dos números que multiplicados den 6 y restados (porque tienen signos diferentes) den 5. Los números son 6 y 1. Se factoriza el primer paréntesis para eliminar el 3 que está como denominador. En resumen:

3x2 – 5x – 2 = (x – 2) (3x + 1)

·2ª forma:

Se abren dos paréntesis y se saca la raíz cuadrada de x 2, la cual se distribuye en cada uno de los paréntesis pero acompañada del 3. Como hay un 3 de más, entonces, se divide por 3:

3x2 – 5x – 2 =

Antes