FACULTAD DE INGENIERIA Probabilidad Estadística

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[pic 27]

Intersección de sucesos

La intersección de sucesos, A [pic 28] B, es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y B. Es decir, el suceso A [pic 29] B se verifica cuando ocurren simultáneamente A y B.

A [pic 30] B se lee como "A y B".

Ejemplo: Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A [pic 31] B.

A = {2, 4, 6}[pic 32]

B = {3, 6}

A [pic 33]B = {6}

Probabilidad de la intersección de sucesos

- Sucesos independientes

p(A [pic 34] B) = p(A) · p(B)

Ejemplo: Se tiene una baraja de 40 cartas, se saca una y se vuelve a meter. ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos ases?

[pic 35]

- Sucesos dependientes

p(A [pic 36] B) = p(A) · p(B/A)

Ejemplo: Se tiene una baraja de 40 cartas, se extraen dos cartas. ¿Cuál es la probabilidad de extraer dos ases?

[pic 37]

Diferencia de sucesos

La diferencia de sucesos, A − B, es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B. Es decir, la diferencia de los sucesos A y B se verifica cuando lo hace A y no B.

A − B se lee como "A menos B".

Ejemplo: Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A − B.

A = {2, 4, 6}[pic 38]

B = {3, 6}

A − B = {2, 4}

Propiedad de la diferencia de sucesos

[pic 39]

Sucesos contrarios

El suceso [pic 40] = E - A se llama suceso contrario o complementario de A. Es decir, se verifica siempre y cuando no se verifique A.

Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par". Calcular [pic 41] .[pic 42]

A = {2, 4, 6}

[pic 43] = {1, 3, 5}

Propiedades

[pic 44]

Axiomas de la probabilidad

1. La probabilidad es positiva y menor o igual que 1.

0 ≤ p(A) ≤ 1

2. La probabilidad del suceso seguro es 1.

p(E) = 1

3. Si A y B son incompatibles, es decir A [pic 45] B = [pic 46] entonces:

p(A [pic 47] B) = p(A) + p(B)

Propiedades de la probabilidad

1. La suma de las probabilidades de un suceso y su contrario vale 1, por tanto la probabilidad del suceso contrario es:

[pic 48]

2. Probabilidad del suceso imposible es cero.

[pic 49]

3. La probabilidad de la unión de dos sucesos es la suma de sus probabilidades restándole la probabilidad de su intersección.

[pic 50]

4. Si un suceso está incluido en otro, su probabilidad es menor o igual a la de éste.

[pic 51]

5. Si A1, A2, ..., Ak son incompatibles dos a dos entonces:

[pic 52]

6 Si el espacio muestral E es finito y un suceso es S = {x1, x2, ..., xn} entonces:

[pic 53]

Ejemplo: La probabilidad de sacar par, al tirar un dado, es:

P(par) = P(2) + P(4) + P(6)

Regla de Laplace

Si realizamos un experimento aleatorio en el que hay n sucesos elementales, todos igualmente probables, equiprobables, entonces si A es un suceso, la probabilidad de que ocurra el suceso A es:

[pic 54]

Ejemplo: Hallar la probabilidad de que al lanzar dos monedas al aire salgan dos caras.

Casos posibles: {cc, cx, xc, xx}.

Casos favorables: 1.

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Probabilidad Condicionada

Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral E.

Se llama probabilidad del suceso B condicionado a A y se representa por P(B/A) a la probabilidad del suceso B una vez ha ocurrido el A.

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Ejemplo: Calcular la probabilidad de obtener un 6 al tirar un dado sabiendo que ha salido par.

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Diagrama de árbol

Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad.

En el final de cada rama parcial se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final).

Hay que tener en cuenta: que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1.

Ejemplos: Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité