Funciones en dos variables.

...

- Halle las derivadas parciales: [pic 102] y en las siguientes expresiones:[pic 103]

a). [pic 104]

b) [pic 105]

2 Si: [pic 106], probar que [pic 107]

Valores extremos para Funciones de Dos Variables

Extenderemos los conceptos de máximos y mínimos relativos o valores extremos relativos para funciones de dos variables.

Definición:

Se dice que una función [pic 108] tiene un máximo relativo en el punto [pic 109], si para todo punto en el plano que esté lo suficientemente cercano a [pic 111] se tiene que [pic 112].[pic 110]

Definición:

Se dice que una función tiene un mínimo relativo en el punto , si para todo punto en el plano que esté lo suficientemente cercano a [pic 116] se tiene que [pic 117].[pic 113][pic 114][pic 115]

Punto Crítico:

Definición:

Un punto interior del dominio de una función [pic 119] donde y son nulas o donde una o ambas: y no existen (no están definidas), es un punto crítico de la función .[pic 118][pic 120][pic 121][pic 122][pic 123][pic 124]

Ejemplo:

[pic 125]

[pic 126]

Las derivadas parciales y [pic 128] son nulas en el punto [pic 127][pic 129]

Las derivadas parciales [pic 130] y [pic 131] no existen en el punto [pic 132]

Proposición:

Sí [pic 133] tiene un valor extremo en y sí y están definidas para todo punto cercano a , es necesario que e [pic 139] sea una solución del sistema: [pic 140][pic 134][pic 135][pic 136][pic 137][pic 138]

Prueba de la segunda derivada parcial para valores extremos relativos.

Proposición:

Supongamos que la función y sus primeras y segundas derivadas parciales son continuas en todo punto del plano que esté lo suficientemente cercano al punto crítico [pic 143], siempre que y [pic 145]. Y sea la función dada por [pic 147].[pic 141][pic 142][pic 144][pic 146]

Entonces:

1. Si y [pic 149], entonces tiene un máximo relativo en .[pic 148][pic 150][pic 151]

2. Si y [pic 153], entonces [pic 154] tiene un mínimo relativo en .[pic 152][pic 155]

3. Si , entonces no tiene ni un máximo ni mínimo relativo en [pic 158].[pic 156][pic 157]

4. Si , ninguna conclusión puede sacarse con respecto a un valor extremo relativo en y se requiere de un análisis adicional[pic 159][pic 160]

Nota 1: El signo de para las cuatro condiciones anteriores, se obtiene sustituyendo [pic 162] e en , es decir .[pic 161][pic 163][pic 164][pic 165]

Nota 2: Si , entonces y deben de tener el mismo signo. Esto significa que puede sustituirse por en las dos primeras partes de criterio.[pic 166][pic 167][pic 168][pic 169][pic 170]

Nota 3: En el caso de que [pic 171], se dice que la función tiene en el punto de coordenadas: un punto silla sobre la superficie .[pic 172][pic 173][pic 174]

Ejemplo: La función [pic 175] presenta en punto de silla en el punto de coordenadas [pic 176]

[pic 177]

1.3. Ejemplos resueltos:

Ejemplo 1: Dada la siguiente función en dos variables [pic 178], donde C es constante, determine los valores extremos y cuál es su característica.

Desarrollo

El dominio de es todo IR2, y el gráfico de la función es:[pic 179]

[pic 180]

[pic 181]

Primera derivada parcial con respecto a x es: [pic 182]

Primera derivada parcial con respecto a y es: [pic 183]

Al igualar ambas derivadas parciales a cero se tiene que los puntos críticos son:

[pic 184]

Las segundas derivadas parciales de la función respectivamente:[pic 185]

[pic 186]

[pic 187]

[pic 188]

Utilizando el criterio de la segunda derivada para valores extremos se obtiene que:

Para existe un punto de silla, que es [pic 190][pic 189]

Para los puntos [pic 191], existen máximos, que son [pic 192] y pues [pic 195][pic 193][pic 194][pic 196]

Para los puntos [pic 197], [pic 198] existen mínimos, los cuales son , y .[pic 199][pic 200]

---------------------------------------------------------------

Ejemplo 2: Dada la función [pic 201]. .Determine los valores extremos de la función. Indique cuales son puntos de silla.

Desarrollo:

- El dominio de [pic 202] es todo IR2.

- Primera derivada parcial con respecto a x es [pic 203]

- Primera derivada parcial con respecto a y es: [pic 204]

- Como cada derivada parcial depende de una sola variable, se igualan por separado a 0, y se resuelven en forma independiente formando pares ordenados que satisfagan las condiciones de valor crítico. Los puntos críticos son los siguientes ,[pic 205]

- Las segundas derivadas parciales de la función respectivamente:[pic 206]

[pic 207]

[pic 208]

[pic 209]

f) Utilizando el discriminante dado