LOS MAXIMOS Y MINIMOS DE FUNCIONES DE DOS O MAS VARIABLES

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- El costo de producir x modelos regulares , y de y modelos de lujo del producto de una empresa está dado por la función de conjunto de costo:

C(x,y) = x2 + 1.5y2 + 300

¿Cuántas unidades de cada tipo debe producirse a fin de minimizar los costos los

costos totales si la empresa decide producir un total de 200 unidades?

R: x = 120; y = 80

- Mediante el método de multiplicadores de Lagrange determine los puntos

críticos de [pic 10]sujetos a las restricciones dadas:

5.1. [pic 11](x,y) = x2 + y2 ; 2x + 3y = 7

R: [pic 12]

5.2. [pic 13](x,y) = 3x + 2y ; x2 + y2 = 13

R: (3,2), (-3,-2)

5.3. [pic 14](x,y,z) = x2 + y2 + z2 ; 2x + 3y + 4z = 29

R: (2,3,4)

5.4. [pic 15](x,y,z) = x2 + 2y2 – 3z2 ; x + 2y - 3z = 5 ; 2x – 3y + 6z = -1

R: [pic 16]

- Hallar los máximos y los mínimos de la función f(x,y) = xy, sujeta a la restricción

[pic 17]

R: f(2,2) = f(-2.-2) = 4, máx.

f(2,-2) = f(-2,2) = -4, mín.

- Hallar el valor mínimo de la función f(x,y) = x2 + y2 sujeta a la restricción xy = 1.

R: f(1,1) = f(-1,-1) = 2

- Un fabricante tiene US$8000 para invertir en el desarrollo y la promoción de un nuevo producto. Se estima que si se gastan x miles de dólares en desarrollo, y

miles de dólares en promoción, las ventas serán aproximadamente:

[pic 18] unidades

¿Cuánto dinero debe asignar el fabricante a desarrollo y cuánto a promoción para

maximizar las ventas?

R: en desarrollo x = 2000

en promoción y = 6000

- Un agricultor desea cercar un área de pastos rectangular, a la orilla de un río. El área tiene 3200 metros cuadrados y no es necesaria la cerca de la orilla del río.

Hallar las dimensiones del área que requieren la menor cantidad de cerca.

R: 40 por 80 metros.