Para calcular la función derivada al ser la función un cociente de dos funciones aplicamos la derivada del cociente

...

[pic 42]

PROBLEMA 5

Calcule el desarrollo de Taylor de grado 1 en el punto (1, 1, 1) de la siguiente función:

[pic 43]

Solución:

El desarrollo de Taylor de orden uno en un punto xo es:

[pic 44]

Por tanto, necesitamos calcular el gradiente además de la imagen de ( 1, 1, 1 ):

[pic 45]

Y el desarrollo sería:

[pic 46]

Este desarrollo nos proporciona la mejor aproximación lineal de la función dada en el punto.

PROBLEMA 6

Sea la función [pic 47] definida por [pic 48], calcule la derivada direccional de f en el punto (1,-1, 2), según la dirección del vector (-1, 1, -1) e interprete el resultado.

Solución:

La derivada direccional de una función vectorial en un punto aplicada a cualquier vector v es:

[pic 49]

Calculemos la matriz jacobiana de f, para lo que tenemos que determinar todas sus parciales en el punto:

[pic 50]

Así pues,

[pic 51].

Por lo tanto, la derivada direccional buscada es:

[pic 52]

Esto quiere decir que, cuando a partir del punto (1,−1,2), nos movemos en la dirección del vector (-1,1,-1) (disminuimos las componentes 1 y 3 en la misma cantidad y aumentamos la segunda en esa misma cantidad), la primera componente de la función decrece esa cantidad y la segunda crece [pic 53] veces esa cantidad:

[pic 54]

PROBLEMA 7

Dada la función [pic 55], calcule la jacobiana en el punto (1,-1,-1) .

Solución:

Para calcular la matriz jacobiana, necesitamos obtener las derivadas parciales evaluadas en el punto (1, −1, −1):

[pic 56]

Así pues,

[pic 57].

PROBLEMA 8

a) Calcule la matriz jacobiana de la función:

[pic 58]

b) Calcule la hessiana de la función escalar que ocupa la primera componente, en el punto (1,1/2).

Solución:

a) Si llamamos f1(x, y) a la primera componente de nuestra función y f2(x, y) a la segunda, es decir:

[pic 59] [pic 60],

tenemos:

[pic 61]

Con lo cual, la jacobiana de la función en el punto (1, 1/2) es:

[pic 62]

b) La matriz hessiana de la primera función componente es:

[pic 63]

Al evaluar esta matriz, que es simétrica, en el punto obtenemos:

[pic 64]

PROBLEMA 9

Dada la función [pic 65]donde [pic 66], calcule [pic 67] para t = 1 utilizando la Regla de la Cadena.

Solución:

En este ejercicio tenemos que calcular una derivada de una composición de funciones utilizando la regla de la cadena. Dicha composición de funciones compone una función vectorial, que depende de x, y, z con una función escalar, que depende de t, de la siguiente forma:

[pic 68]

Árbol de dependencias: [pic 69]

Por tanto, aplicamos la regla de la cadena para calcular [pic 70]:

[pic 71]

Evaluado en [pic 72] y [pic 73], obtenemos [pic 74]:

[pic 75]

[pic 76]

PROBLEMA 10

Sean las funciones [pic 77] y [pic 78], analice si se pueden componer, y en caso afirmativo, calcule la derivada parcial de la función compuesta con respecto a su segunda variable, en el punto (1, 1), aplicando la regla de la cadena.

Solución:

Determinemos, en primer lugar, los dominios de ambas funciones:

[pic 79]

Como la primera componente de la función f es siempre no negativa, entonces las funciones se pueden componer:

[pic 80].

Teniendo en cuenta que f(1,1) = (3, 1) y considerando el siguiente árbol de dependencias:

[pic 81]

obtenemos la parcial buscada aplicando la regla de la cadena:

[pic 82]

Calculemos estas parciales:

[pic 83]

Por lo tanto,

[pic 84].

PROBLEMA 11

En un proceso productivo, a partir de tres materias primas, A, B y C, se obtienen dos bienes semiterminados B1 y B2 mediante la siguiente función de producción:

[pic 85],

donde x, y, z son las cantidades de materia prima utilizadas de A, B y C, respectivamente, mientras que u y v son las cantidades de B1 y B2. A partir de B1 y B2 se produce un bien final, B, mediante la función:

[pic 86]

Calcule