APLICACIONES DE LA DERIVADA CONSTRUCCIÓN DE GRAFICAS DE FUNCIONES
Enviado por Mikki • 3 de Junio de 2018 • 1.876 Palabras (8 Páginas) • 735 Visitas
...
Por ejemplo:
y = x 3 –x 2
factorizamos: y = x 2. ( x -1)
planteamos la ecuación: x 2. ( x -1) = 0 ⇒ las raíces son x 1 = 0 x 2 = 1
pero el primer factor está elevado al cuadrado por lo tanto la raíz x 1= 0 tiene multiplicidad 2 ( par) ( rebota en el eje x)
y el segundo factor está elevado a la 1, por lo tanto la raíz x 2 = 1 tiene multiplicidad 1 ( impar) ( cruza al eje x)
Si queremos hacer un gráfico aproximado de la función aplicamos lo visto anteriormente:
- Por ser polinómica sabemos que es continua en todo su dominio
- Por ser de grado impar y coeficiente principal positivo : [pic 43] [pic 44]
-
- Rebota en 0 y cruza al eje en 1
[pic 45]
[pic 46]
Otro ejemplo:
y= x4 - 4x3 + 4x2
- raíces:
factorizamos: y= x 2 . ( x -2 ) 2
planteamos la ecuación: x 2 . ( x -2 ) 2 = 0
las raíces son x 1 = 0 grado de multiplicidad par ( 2 ) rebota en el eje
x 2 = 2 grado de multiplicidad par ( 2 ) rebota en el eje
- por ser polinómica de grado par, y coeficiente principal positivo: [pic 47]
La gráfica aproximada es:
[pic 48]
- Análisis de una función:
Esta es una gráfica aproximada, pero si queremos graficar mas exactamente, hacemos el análisis completo de la función, ayudándonos con la derivada
En el primer ejemplo anterior y = x 3 –x 2
- Ordenada al origen:
Es la imagen del cero, por lo tanto f(0) = 0
- intervalos de crecimiento:
f ’(x)= 3x 2 -2x = x. ( 3x – 2) = 0 posibles puntos estacionarios son x 1 = 0 x2 = 2/3
hacemos la tabla
x
3x-2
f ’
]-∞ , 0[
-
-
+
Est. Crec
]0 , 2/3[
+
-
-
Est. Decrec.
]2/3 , ∞[
+
+
+
Est. Crec
Puntos estacionarios: ( 0 , 0 ) ( 2/3 , -4/27 )
- intervalos de concavidad:
f ’’= 6x -2 = 0 posible punto de inflexión en x = 1/3
hacemos la tabla
6x-2
f ’’
]-∞ , 1/3[
-
Concavidad abajo
]1/3 , ∞ [
+
Concavidad arriba
Punto de inflexión: ( 1/3, -2/27 )
- extremos:
Ninguna función polinómica de grado impar tiene extremos absolutos, pero si puede tener extremos locales, y estos se presentan en los puntos estacionarios, que ya los calculamos. Donde pasa de creciente a decreciente hay un máximo, y dónde pasa de decreciente a creciente hay un mínimo. Por lo tanto en x = 0 hay un máximo local, y en x = 2/3 hay un mínimo local.
La gráfica exacta sería:
[pic 49]
Ejemplos:
y = x 4 + 4 x 3
- Ordenada al origen:
Es la imagen del cero, por lo tanto f(0) = 0
- intervalos de crecimiento:
f ’(x)= 4x 3 +12x 2 = 4x2. ( x +3) = 0 posibles puntos estacionarios son x = 0 y x= -3
hacemos la tabla
x2
x+3
f ’
]-∞ , -3[
+
-
-
Est. decrec
]-3 , 0[
+
+
+
Est. crec.
]0 , ∞[
+
+
+
Est. Crec
Puntos estacionarios: ( -3 , -27 )
Observe que el (0,0) no es punto estacionario por que no cambió el crecimiento
- intervalos de concavidad:
f ’’= 12x2 +24x = 12x. ( x+2) = 0 posibles puntos de inflexión en x = 0 y x = -2
hacemos
...