Funciones de dos variables Ahora trabajaremos con funciones de la forma: z = f(x,y), con dos variables independientes, x e y, y con una variable dependiente z. El dominio son pares ordenados (x,y) y la imagen son ternas ordenadas (x,y,z).

...

[pic 47]

Definición: Una función z=f(x,y) posee un mínimo relativo o local en (x0 y0), si

f (x0 y0) ≤ f(x,y) para todo (x,y) cercano a (x0 y0) ( esto significa para todo (x,y) en algún disco abierto de radio r con centro en (x0 y0)).

Definición: Una función z=f(x,y) posee un máximo absoluto en (x0 y0), si

f (x0 y0) ≥ f(x,y) para todo (x,y) del dominio de f.

Definición: Una función z=f(x,y) posee un mínimo absoluto en (x0 y0), si

f (x0 y0) ≤ f(x,y) para todo (x,y) del dominio de f.

Geométricamente: Los máximos y mínimos de una función de dos variables miden altitudes máximas y mínimas sobre la superficie que constituye la gráfica de la función (son como las cotas del punto más elevado de una colina ó del punto más profundo de una hondonada). No tienen porqué existir, sin embargo, lo mismo que el teorema de Weierstrass nos garantizaba la existencia de máximo y mínimo absolutos de una función y = f(x) continua en [a,b], puede demostrarse que z = f(x,y) continua alcanza su valor máximo y su valor mínimo absolutos en una región D

cerrada (incluye el borde) y acotada del plano

Definición: Un punto P: (x0, y0) se denomina punto crítico de z = f(x,y) si P pertenece al dominio de f y satisface el siguiente sistema de ecuaciones

[pic 48]

Nota: Satisfacer el sistema de ecuaciones que acabamos de escribir es una condición necesaria para ser extremo pero no es una condición suficiente.

Por ejemplo: sea z = y2 – x2

[pic 49]

→ La única solución es P:(0,0)

Sin embargo, P: (0,0) no es ni un máximo ni un mínimo de la función, es lo que se denomina: Punto silla.

[pic 50][pic 51]

Prueba de la segunda derivada para funciones de dos variables

(Condición suficiente)

Sea z = f(x,y) una función de dos variables que tiene derivadas parciales segundas [pic 52], [pic 53], [pic 54] continuas en todos los puntos cercanos al punto crítico P: (x0 , y0).

Sea D(x,y) la función definida por:

[pic 55]

Entonces:

a) Si D(x0 , y0) > 0 y [pic 56]0 , y0) es un máximo relativo.

b) Si D(x0 , y0) > 0 y [pic 57]> 0 → f((x0 , y0) es un mínimo relativo.

c) Si D(x0 , y0) 0 , y0) no es ni máximo ni mínimo relativo.

P: (x0 , y0) se denomina punto silla

d) Si D(x0 , y0) = 0 → el criterio no decide.

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Multiplicadores de Lagrange[pic 58]