Funciones trigonométricas- Las Seis Funciones Trigonométricas

...

Solución

(a) La representación del coseno se parece a la del seno; buscamos una función de la forma

P (t) = Acos [ω (t − α)] + C.

Amplitud A y desplazamiento C:

Ya que el flujo de efectivo fluctúa entre

−10% y +15%, podemos expresar esto como una fluctuación de A = 12.5, respecto al promedio C = 2.5.

Periodo P: Según el enunciado, P = 40.

Frecuencia angular ω: Esto se determina con la formula ω = 2π//P = 2π//40 = π//20 ≈ 0.157.

Desplazamiento de fase α:

El punto base está en el punto máximo de la curva, y el dato es el flujo de caja que estaba en un punto máximo cunado t = 0.

En consecuencia, el punto base está en t = 0, y por lo que α = 0. Al armar el modelo se obtiene:

P (t) = Acos [ω (t − α)] + C = 12.5cos (0.157t) + 2.5, en donde t es el tiempo en años.

(b) Para pasar de una representación con coseno a una con seno se puede usar una de las ecuaciones antes dadas. Aquí, usemos la fórmula

Cos x = sen(x + π//2). En consecuencia, P(t) = 12.5cos(0.157t) + 2.5 = 12.5sen(0.157t + π//2) + 2.5.

Las demás funciones trigonométricas

Como mencionamos anteriormente, podemos usar razones y recíprocas del seno y el coseno para obtener cuatro nuevas funciones con su propio nombre. Que son:

Tangente, Cotangente, Secante, y Cosecante

tan x =

sin x

cos x

tangente

cotan x =

cos x

sin x

=

1

tan x

cotangente

sec x =

1

cos x

secante

cosec x =

1

sin x

cosecante

Ejemplo 2

Usa la tecnología para graficar la curva de y = secx, para −2π/≤x≤2π/,

Solución Donde: sec x = 1/cos x, podemos entrar esta función como

Y1 = 1/cos(x). Para ajustar la ventana, vamos a usar −2π/≤x≤2π/, y −7≤y≤7.

Aquí está la gráfica que se obtiene.

[pic 4]

Pregunta

¿Qué hacen aquí las líneas verticales?

Respuesta

Ya que definimos la función secante como: secx = 1/cos x, sabemos que no se define cuando el denominador es cero. Es decir, cuando cos x = 0.

Consultando la gráfica de cos x, encontramos que esto ocurre cuando x = ±π//2, ±3π//2, ±5π//2, ...

Por lo tanto, estos valores no están en el dominio de la función secante. Además, cuando

X tiene estos valores, sec x, llega a ser muy grande numéricamente, pero cambia de signo cuando cruzamos estos valores, causando la calculadora gráfica hacer repentinos saltos de grandes valores negativos de y a grandes valores positivos. Por lo tanto, las líneas verticales son asíntotas.

,

Antes de seguir...

Aquí están las gráficas de las cuatro funciones. Podrías intentar reproducirlas y pensar sobre las asíntotas

[pic 5]

Tan x = sen x/cos x

[pic 6]

Cotan x = cos x/sen x

[pic 7]

Sec x = 1/cos x

[pic 8]

cosec x = 1/sen x

Las funciones trigonométricas como proporciones en un triángulo rectángulo

Volvamos a la figura que define el seno y el coseno, pero esta vez, pensemos de estas dos cantidades como longitudes de los lados de un triángulo rectángulo:

[pic 9]

También pensamos en la cantidad t como una medida del ángulo que se muestra en lugar de la longitud de un arco. Mirando la figura, nos encontramos con que

sen t = longitud del lado opuesto del ángulo t =

opuesto

1

=

opuesto

hipotenusa

cos t =

longitud del lado adyacente al ángulo

t =

adyacente

1

=

adyacente

hipotenusa

tan t =

sen t

cos t

=

opuesto

adyacente

Esto nos da las seis fórmulas siguientes

Las funciones trigonométricas