Funciones medibles

...

Ciertas combinaciones algebraicas de funciones medibles son medibles, como vamos a demostrar.

2,6 Lemma. Sea F yg funciones reales medibles y sea c un número real. Entonces las funciones

................................. ..

También son medibles.

PRUEBA. (A) Si c = 0, la afirmación es trivial. Si c> 0, entonces

................................................ ..

El caso c> 0 se maneja de manera similar.

(B) Si ......., Entonces ................................. .., entonces ........................

..................................................................................

(C) Por hipótesis, si r es un número racional, entonces

Sr = .......................................

Pertenece a X. Como se ve fácilmente que

....................................................

De ello resulta que F + g es mensurable.

(D) Dado que Fg = ..................... .., se desprende de las partes (a), (b), y (c) que Fg es mensurable.

(E) Si alfa = 0, entonces

....................................................................................................

Así, la función / F / es medible.

Si F es una función de X a R, sea F + y F- sean las funciones no negativas definidas sobre X por

(2.4) ................................................................................. ..

La función F + se llama la parte positiva de F y F- se llama la parte negativa de F. Es evidente que

(2.5) ....................................

Y se deduce de estas identidades que

(2.6) ............................

En vista del lema anterior se deduce que F es medible si y sólo si F + y F- son medibles.

La discusión anterior corresponde a las funciones reales definidas sobre un espacio medible. Sin embargo, en el trato con las secuencias de funciones medibles deseamos a menudo para formar suprema, límites, etc., y es técnicamente conveniente para permitir que el número real ampliada -infinito, + infinito que se tomará como valores. Por lo tanto deseamos definir mensurabilidad de funciones reales extendidos y lo hacemos exactamente como en la Definición 2.3

2.7 DEFINICIÓN. Una función real extendida sobre X-medible en caso de que el conjunto ............... pertenece a X alfa para cada número real. La colección de todas las funciones X-medible de valor real extendidas en X se representa por M (X, X).

Observe que si F e M (X, X), entonces

...................................................... ...

.........................................................

De modo que ambos de estos conjuntos pertenece a X.

El siguiente lema menudo es útil en el tratamiento de las funciones reales extendidos.

2,8 Lemma. Un prolongado función real f es medible si y sólo si los conjuntos

...........................................................................................

Pertenecer a X y la f1 función real definida por

.................. ..................................

................ ............................

Es mensurable.

2.9 lema. Sea (fn) una secuencia en M (X, X) y definir las funciones

................................................................

...............................................................

Entonces f, F, f * pertenecen a M (X, X).

Corolario 2.10. Si (fn) es una secuencia en M (X, X) que converge a f en X, entonces f es en M (X, X).

2.11 LEMA. Si f es una función no negativa en M (X, X), entonces existe una sucesión (fi sub n) en M (X, X) tal que

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FUNCIONES valores complejos

Con frecuencia, es importante tener en cuenta las funciones de valores complejos definidas sobre X y tener una noción de la capacidad de medición para tales funciones. Observamos que si f es una función compleja definida en X, entonces existen dos funciones reales f1 f2 determinados de forma única, de tal manera que

f: f 1 + IF2.

(De hecho, f1 (x) = Re f (x), f2 (x) = Im f (x), para x E X.) Se define la función compleja f sea medible si y sólo si es real y lo imaginario piezas de f1 y f2, respectivamente, son mensurables. Es fácil ver que las sumas, productos y límites de funciones medibles de valores complejos también se pueden medir.

FUNCIONES entre espacios MENSURABLES

En la segunda parte vamos a requerir la noción de capacidad de medición sólo para el funcionamiento real y valores complejos. En algunos trabajos, sin embargo, se desea definir mensurabilidad para una función f de un espacio medible (X, X) en otro espacio medible (Y, Y). en este caso se dice que f es medible en caso de que el conjunto

.......................................... ..

Pertenece a X para cada conjunto