Guia teorica espacio vectorial

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- .[pic 89]

- .[pic 90]

- .[pic 91]

- .[pic 92]

- , si .[pic 93][pic 94]

- , si .[pic 95][pic 96]

- .[pic 97]

Norma de un vector: La magnitud, longitud, modulo o norma denotada en un espacio vectorial, se define como el número no negativo: . Si , entonces la norma del vector sería [pic 98][pic 99][pic 100][pic 101][pic 102][pic 103]

Vector unitario : Cualquier vector puede dar lugar a un vector unitario multiplicándolo por el reciproco de su norma o magnitud: , . Este vector unitario esta en la misma dirección del vector .[pic 104][pic 105][pic 106][pic 107][pic 108][pic 109][pic 110]

Propiedades de la Norma en 3: Sean vectores en 3 y un escalar en , entonces:[pic 111][pic 112][pic 113][pic 114][pic 115]

- , si .[pic 116][pic 117][pic 118]

- [pic 119]

- [pic 120]

- Desigualdad de Cauchy-Schwars.[pic 121]

- Desigualdad Triangular.[pic 122]

Angulo entre dos vectores: Sean los vectores y θ el ángulo entre dos estos vectores.[pic 124][pic 123]

Ortogonalidad: Si dado dos vectores se dice que son ortogonales o perpendiculares si el producto escalar de ellos es igual a cero. ó si y solo si .[pic 125][pic 126][pic 127][pic 128]

Cosenos directores: Sea el vector perteneciente a 3 y los vectores básicos , entonces , de aquí:[pic 133][pic 129][pic 130][pic 131][pic 132]

Donde α, β, γ son los ángulos en dirección de [pic 134]

Componentes de un vector: Sea y vectores no nulos y donde es paralelo a y es ortogonal a .[pic 142][pic 135][pic 136][pic 137][pic 138][pic 139][pic 140][pic 141]

- es un vector que es combinación lineal del vector (esta sobre el vector , es un vector componente de sobre , también se llama Proyección de y se denota por: .[pic 143][pic 144][pic 145][pic 146][pic 147][pic 148][pic 149]

- es un vector ortogonal a , , vecor componente de ortogonal a .[pic 150][pic 151][pic 152][pic 153][pic 154]

Teorema: (Proyección ortogonal utilizando el producto escalar). Si y son vectores no nulos, entonces la proyección de sobre viene dada por:[pic 155][pic 156][pic 157][pic 158]

[pic 159]

La proyección de puede escribirse como un múltiplo escalar de un vector unidad de .[pic 160][pic 161]

[pic 162]

Donde c es la componente de en la dirección de , luego: .[pic 163][pic 164][pic 165]

PRODUCTO VECTORIAL (CRUZ) DE DOS VECTORES: Def.: Dado dos vectores , donde ; . El producto vectorial denotado se define por: [pic 166][pic 167][pic 168][pic 169][pic 170]

[pic 171]

[pic 172][pic 173]

[pic 174][pic 175]

[pic 176][pic 177][pic 178]

[pic 179][pic 180][pic 181]

Propiedades del Producto Vectorial: Si y α , entonces:[pic 182][pic 183][pic 184]

- [pic 185]

- [pic 186]

- [pic 187]

- [pic 188]

- [pic 189]

- [pic 190]

- (Triple producto escalar).[pic 191]

De acuerdo a la propiedad 5 tenemos: ; ; . [pic 192][pic 193][pic 194]

Teorema: Dos vectores no nulos se dice que son paralelos si y solo si el Producto Vectorial entre ellos es igual a cero, esto es: o .[pic 195][pic 196][pic 197]

El Producto Vectorial de cualquier par de vectores básicos se obtiene mediante lo siguiente:[pic 199][pic 198]

[pic 200]

[pic 201]

[pic 202]

De acuerdo a la propiedad 1, se tiene: [pic 203]

[pic 204]

[pic 205]

Propiedades Geométricas del Producto Vectorial:

- es ortogonal tanto a como a .[pic 206][pic 207][pic 208]

- si y solo si son múltiplo escalar uno a otro o son paralelos ().[pic 209][pic 210][pic 211]

- : área del paralelogramo que tiene como lados adyacentes.[pic 212][pic 213]

- : volumen de un paralelepípedo con vectores como lados adyacentes. Si ; ; , entonces:[pic 214][pic 215][pic 216][pic 217][pic 218]

[pic 219]

[pic 220]

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO:

Rectas en el Espacio: Supongamos que es una Recta en el espacio, que pasa por el punto y es paralela a un vector diferente de cero. Donde: [pic 224][pic 221][pic 222][pic 223]

o [pic 225][pic 226]

Entonces es el conjunto de los puntos para los cuales el vector es paralelo al vector , lo que indica que el punto P esta sobre la recta si y solo si , esto es: [pic 227][pic 228][pic 229][pic 230][pic 231][pic 232]

[pic 233][pic 234]

Ecuaciones Paramétricas de la Recta con un punto y el parámetro . es el vector director de la recta , los números son números directores. Si estos números son no nulos, entonces:[pic 235][pic 236][pic 237][pic 238][pic 239][pic 240][pic 241]

; ; [pic 242][pic 243][pic 244]

Ecuación simétrica de la recta .[pic 245][pic 246]

Distancia de un Punto a una Recta en el Espacio: La distancia de un punto a una recta en el