Lógica Simbólica, Historia

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referente a la lógica. En su lugar, se desarrollaron manuales simplificados y manuales de lógica. Los descendientes de estos escritos vinieron a ser utilizados en universidades, y las grandes innovaciones de los lógicos medievales fueron olvidadas. Probablemente uno de los mejores trabajos es la Lógica de Port-Royal, por Antoine Arnauld y Pierre Nicole publicada en 1662. Cuando estos escritores se refieren a “lógica tradicional” usualmente tienen esta degenerada tradición de un libro de texto en la cabeza.

Desde el inicio de la era moderna, la mayoría de las contribuciones a la lógica fueron hechas por matemáticos. Liebniz visionó el desarrollo de un lenguaje universal para ser especificado con presicion matemática. La sintaxis de las palabras es para corresponder a las designadas estructuras metafísicas de las entidades. La meta, en efecto, era reducir la científica y filosófica especulación a la computación. A pesar de que este grandioso proyecto no fue desarrollado en todo su esplendor, y no disfruto de mucha influencia directa, la Característica Universal es un precursor del subsecuente trabajo en la lógica matemática.

A inicios del siglo XIX, Bolzano desarrolló un buen número de nociones centrales a la lógica. Unas de estas, como la analiticidad y la lógica consecuencia han sido relativos a la colección de conceptos variables. Por ejemplo, una proposición C es consecuente a una colección P de proposiciones relativas a un grupo G de ítems variables, si bien, apropiada uniformemente a la sustitución de los miembros de G que hace que cada miembro de P verdadero haga C verdadera. Este podría ser el primer intento para caracterizar la consecuencia lógica en términos semánticos, usando una distinción entre terminología lógica y no lógica.

Hacia el final del siglo XIX, podemos distinguir tres tradiciones superpuestas en el desarrollo de la lógica. Uno de ellos se origina con Boole e incluye, entre otros, a Pierce, Jevons, Shröder, y Venn. Esta “escuela algebraica” tenía como enfoque la relación entre las regularidades en el correcto razonamiento de operaciones como la adición y la multiplicación. Un objetivo primario fue el desarrollo del cálculo común al razonamiento de las diferentes áreas, tales como las proposiciones, categorías y probabilidades. La orientación parte del álgebra abstracta. Una comienza con uno o más sistemas de operaciones relacionadas y articuladas a una estructura abstracta común. El sistema que Boole desarrolló es similar a lo que hoy es llamado Álgebra de Boole o Álgebra Booleana. Otros miembros de la escuela desarrollaron cuantificadores rudimentarios, que algunas veces eran tomados para extenderse, incluso la infinitaria, las conjunciones y las disyunciones.

El objetivo de la segunda tradición, la “Escuela Lógica”, fue el de codificar la lógica subyacente de toda la disertación científico racional en un sistema. Para ello, la lógica no es resultado de abstracciones del razonamiento en particular de disciplinas y contextos. En su lugar, la lógica está cometida a características generales de la actual y precisa disertación, caracterizando la materia del sujeto.

Los mayores lógicos fueron Russell, el temprano Wittgenstein, probablemente, y el más grande lógico desde Aristóteles, Gottlob Frege. En su Begriffsschrift, Frege desarrolla un rico lenguaje formal con rigor matemático. A pesar de la notación de dos dimensiones, es fácilmente reconocido como un lógico de alto orden contemporáneo. Los cuantificadores son entendidos como lo están en los actuales libros de texto lógicos, no como extensas conjunciones y disyunciones. A diferencia de los algebristas, Frege no visionó varios dominios de la disertación, y cada uno de ellos puede apreciarse como una interpretación del lenguaje. Más bien, cada variable de primer orden está sobre el rango de todos los objetos. Por otra parte, en términos contemporáneos, los sistemas de los lógicos no tenían terminología no lógica.

Frege hizo brillante uso de sus adentros lógicos cuando desarrolló sus programas filosóficos concernientes a la matemática y el lenguaje. El mantuvo que la aritmética y el análisis eran partes de la lógica, y hechos en grandes rasgos en función de la teoría de los números descrita en el Begriffsschrift. Para capturar la inducción matemática, cierres mínimos y un hueste de otras nociones matemáticas, el desarrolló y explotó la ancestral relación en puros términos lógicos.

Desafortunadamente, el sistema que Frege desarrolló eventualmente mostró ser inconsistente. Este conlleva a la existencia de un concepto R que establece todas y únicamente aquellas extensiones que no se contienen a sí mismas. Lo sigue una contradicción conocida como “La paradoja de Russell”.

A mayor respuesta estuvo el escrito de varios volúmenes de los “Principios Matemáticos” por Russell y Whitehead, quien intenta recapturar el programa logístico desarrollando una elaborada teoría de tipos. Las antinomias eran evitadas imponiendo un círculo vicioso cuyo principio no tenía objeto definido por referencia a una totalidad contenida en el mismo para ser definido posteriormente. A pesar de su complejidad, “Principios Matemáticos” tuvo una amplia influencia entre lógicos y filósofos. Una elegante versión de la teoría, llamada Teoría de Tipo Simple fue introducida por Ramsey. Esta viola el principio del círculo vicioso pero sigue evadiendo la paradoja formal.

La tercera tradición data hasta al menos Euclides y, en su período, incluye a Dedekind, Peano, Hilbert, Pasch, Veblen, Huntington, Heyting y Zermelo. El objetivo de esta “Escuela Matemática era la axiomatización de ramas particulares de las matemáticas como la geometría, aritmética, análisis y teoría de conjuntos. Zermelo, por ejemplo, produjo axiomas referentes a la teoría de conjuntos en 1908, dibujando los adentros de Cantor y otros. La teoría conocida actualmente como la Teoría de Conjuntos de Zermelo-Fraenkel es el resultado de algunas modificaciones y clarificaciones hechas por Skolem, Fraenkel y von Neumann entre otros.

Desemejante a Euclides, algunos miembros de la escuela matemática pensaron en incluir una formulación explicita para las reglas de inferencia en el desarrollo axiomático. En algunos casos, como el de Hilbert y sus seguidores, esto era parte de una agenda formalista filosófica, llamada el programa Hilbert. Otros, como Heyting, produjeron versiones axiomáticas de la lógica del intuicionismo y el intuicionismo matemático, para contrastar el auge de sus programas revisionistas.

Una variación en el tema matemático tuvo lugar en Polonia bajo Lukasiewicz y otros. La lógica se volvió en sí en una rama de las matemáticas para ser traída dentro de la metodología axiomática.