LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

...

Tenemos que P(Z≤ zz) = 0,9406

Tipificación de la variable

[pic 10]

Sea X una v.a. con distribución N(60, 5) calcular:

- P(X

Para x0 = 70 su correspondiente valor tipificado es [pic 11] entonces según la tabla de N(0,1) , P(X

- P(X > 75)

Para x0 = 75 su correspondiente valor tipificado es [pic 12]entonces según la tabla de N(0,1) ,P(Z>3) = 1-P(Z

- P(70

Utilizando las tipificaciones anteriores

P(70

Distribución de probabilidades bajo la curva normal

Para cualquier distribuciónN( μ, σ ) se cumple que

[pic 13]

La zona sombreada representa el 68,26% del área total.

[pic 14]

La zona sombreada representa el 95,44% del área total

La zona sombreada representa el 99,74% del área total[pic 15]

Aproximación de la binomial a la normal

Aunque la binomial es una v.a. discreta y la normal es una v.a. continua se puede observar que para cualquier valor de p en la binomial, al aumentar los valores de n los polígonos de frecuencias asociados a los diagramas de barras que representar la distribución van formando una gráfica similar a la de la curva de densidad de una distribución normal.

[pic 16]

Además cuando n es muy grande el cálculo en la distribución binomial se vuelven muy complicados y con muchos sumandos.

[pic 17]

Por el teorema de Moivre podemos afirmar que la normal constituye una muy buena aproximación de la binomial.

EJERCICIOS

- En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio sigue una distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°.

[pic 18]

- La media de los pesos de 500 estudiantes de un Instituto es 70 kg y la desviación típica 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan:

a) Entre 60 kg y 65 kg. b) Más de 90 kg. c) Menos de 64 kg. d) 64 kg.

e) 64 kg o menos.

[pic 19]

[pic 20]

- Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una ley normal con media 100 y desviación típica 15.

a) Determinar el porcentaje de población que obtendría un coeficiente entre 95 y 110.

[pic 21]

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

Se aplica cuando la muestra (n) es una proporción relativamente grande en relación con la población (n > 0.1N). El muestreo se hace sin reemplazo

P(x, N, n, D) es la probabilidad de exactamente x éxitos en una muestra de n elementos tomados de una población de tamaño N que contiene D éxitos. La función de densidad de distribución hipergeométrica:

[pic 22][pic 23]

Con

La media y la varianza de la distribución hipergeométrica son:

[pic 24]

EJEMPLOS

1. De un grupo de 20 productos, 10 se seleccionan al azar para prueba. ¿Cuál es la probabilidad de que 10 productos seleccionados contengan 5 productos buenos? Los productos defectivos son 5 en el lote.

N = 20, n = 10, D = 5, (N-D) = 15, x = 5

P(x=5) = 0.0183 = 1.83%

[pic 25]

2. Un fabricante de faros para coches informa que en un envío de 4000 faros a un distribuidor, 500 tenían un ligero defecto. Si se compran al distribuidor 20 faros elegidos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente dos con defecto?

[pic 26]

3. Un lote contiene 100 piezas de un proveedor de tubería local y 200 unidades de un proveedor de tubería del estado vecino. Si se seleccionan cuatro piezas al azar y sin reemplazo,

(a) ¿cuál es la probabilidad de que todas sean del proveedor local?

(b) ¿Cuál es la probabilidad de que dos o más piezas de la muestra sean del proveedor local?

(c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una pieza de la muestra sea del proveedor local?

[pic 27]

[pic 28]