“LAS RAÍCES DEL CÁLCULO INFINITESIMAL”

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1.1.2 La aportación medieval a lo infinitesimal

La continuidad y los límites dentro de la misma son definiciones que con todas sus deficiencias de estilo, dificultades y contradicciones, demuestran cómo la Matemática infinitesimal iba abriéndose camino entre los escolásticos. Y a pesar de existencia de muchos desacuerdos y discusiones, se obtuvieron resultados relevantes, como el teorema de Merton, referente al valor medio de una forma cuya velocidad de cambio es constante. Nicolás de Oresme recoge y desarrolla ampliamente el tema de la llamada “Latitud de formas” En una de sus obras Oresme escribe: “La dimensión de los fenómenos está sometida a múltiples variaciones y dicha multicipllidad es difícilmente discernible si su estudio no se remite al estudio de figuras geométricas. Todo lo que varía, se sepa medir o no, lo podemos imaginar como una cantidad continua representada por un segmento rectilíneo. La cualidad, forma o propiedad es representada de acuerdo con la variación de la intensidad respecto del tiempo. Pero a diferencia de la Geometría analítica la cual la describe como una curva determinada por la latitud y longitud, está la determina como una curva dada por el área de lo que Oresme llama como figura.

Logra distinguir tres tipos de formas:

- Uniformes.

- Uniformemente diformes.

- Diformemente diformes.

Respecto al movimiento uniformemente acelerado, Oresme dice que la velocidad en el punto medio del intervalo de tiempo es la media de las velocidades en los instantes inicial y final, es decir, obtiene una verificación geométrica del teorema de Merton. Sin embargo, Oresme estaba más interesado por las variaciones de formas y el área bajo la curva, por eso es que se acercó más al cálculo infinitesimal que a la Geometría analítica. Oresme advierte que en una figura curva, por ejemplo un semicírculo construido sobre la longitud, las latitudes que corresponden a los puntos donde la curva empieza a ascender crece de forma rápida. Pero este aumento, medido por el llamado grado de la amplitud, va continuamente disminuyendo a medida que ascendemos.

Entonces podemos agradecer a Nicolás Oresme por innovadoras ideas:

- La medida de diversas variables físicas por medio de segmentos.

- Algún tipo de relación funcional entre variables.

- Una aproximación a la introducción de las coordenadas mediante la representación gráfica de relaciones funcionales.

- Una especie de integración o sumación continúa para calcular la distancia como el área bajo el grafo velocidad-tiempo.

La escolástica de la baja edad media recurría con frecuencia en sus especulaciones al infinito, tanto en sentido potencial como actual. Esta amplitud de miras permitió desarrollar la importante innovación de los algoritmos infinitos.

Como consecuencia de las especulaciones filosóficas medievales sobre el infinito y el continuo a propósito de la latitud de las formas, se desarrolló una actividad matemática en el terreno de lo infinitesimal, que provocó el que se atemperara el horror al infinito de los griegos, cambiando de forma positiva el desarrollo de métodos y técnicas infinitesimales del siglo XVII.

1.2. La asimilación del legado clásico y el cambio de actitud en la Matemática

La profunda admiración de los matemáticos hacia la Matemática clásica griega los llevo, como a Descartes, a advertir y lamentar que la rigidez de los cánones impuestos por esta filosofía hubiera provocado el que una valiosa tradición quedara fuera de los grandes tratados clásicos. Así que, tras la traducción respetuosa, la actividad investigadora se dirige al comentario útil. En este sentido la importancia de la naciente Algebra simbólica será decisiva.

Proclo, atribuye a Hipócrates de Quíos la invención del método analítico. La apagoge es una reducción de un problema o de un teorema a otro, que si es conocido o determinado, conduce a la solución de la cuestión propuesta. Se tuvo a Hipócrates de Quíos como el primero que invento la reducción geométrica en estas figuras difíciles. Al estudiar y examinar el Análisis y la Síntesis, Pappus describió muchos trabajos matemáticos perdidos de distintos personajes como Euclides, Apolonio, Aristeo, etc., sobre la geometría superior. La eficiencia del Análisis es doble: por una parte, abundan los teoremas geométricos que tienen un reciproco valido y, por otra, cuando el reciproco de un teorema no es válido, puede llegar a serlo añadiendo ciertas condiciones suplementarias, que eran llamadas por los griego “diorismos”.

Descartes fue uno de los que mostro inconformismo por descubrir que les fue ocultado los métodos para descubrir y entender mejor la Geometría griega. Sospechó que los filósofos ocultaron esos conocimientos para ser admirados por los demás. El principio fundamental de la Geometría analítico consiste en el descubrimiento de que las ecuaciones indeterminadas en dos incógnitas, f(x, y)=0, se corresponden con lugares geométricos generalmente curvas. Un aspecto de esto fue descrito por Descartes de la siguiente forma: “La solución de uno cualquiera de estos problemas de lugares geométricos no consiste nada más que en hallar un punto para cuya completa determinación falta una condición. En cualquiera de estos casos se llega a una ecuación que contiene dos cantidades incógnitas.”

Idea que completó Fermat de la siguiente manera:

“Siempre que en una ecuación fina se encuentran dos cantidades incógnitas, se tiene un lugar geométrico, describiendo el extremo de una de ellas una línea recta o curva.”

En estas palabras se sintetiza uno de los principios más importantes de la Historia de la Geometría, que introduce no sólo la Geometría analítica, sino la idea fundamental de variable algebraica, básica para el desarrollo del Cálculo.

Descartes estudia ecuaciones por medio de curvas definidas por ecuaciones, llamando a su geometría “Geometría analítica” o “cartesiana”, Estudio dos temas fundamentales: la derivación de las ecuaciones de los lugares geométricos Y las propiedades de las curvas, sobre todo de las definidas por ecuaciones lineales y cuadráticas. El impacto del álgebra no tiene lugar solo sobre la geometría, sino también sobre el cálculo infinitesimal. Los trabajos de Fermat y descartes