Antecedentes históricos del calculo Antecedentes históricos 1.1.1 Lo infinitesimal en el mundo griego

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Método seguido en el tratamiento de cuestiones geométricas con la ayuda de nociones y consideraciones mecánicas.

El “Método” es un informe de Arquímedes, sobre un método de investigación y de argumentación aceptable en Geometría, ilustrado con algunos ejemplos.

Dentro de algunos resultados que Arquímedes obtiene en el Método se encuentran:

- Determinación por medio del método mecánico de la cuadratura del segmento parabólico.

- Determinación por medio del método mecánico de la equivalencia de la esfera con el cuádruple del cono de base el círculo máximo de la esfera y de altura el radio.

- Determinación por medio del método mecánico de análogas equivalencias entre elipsoide de revolución, cono y cilindro.

- Determinación por medio del método mecánico del centro de gravedad de un segmento de paraboloide de revolución.

- Determinación por medio del método mecánico del centro de gravedad de un hemisferio.

- Determinación por medio del método mecánico de la razón entre un segmento esférico y el cono de igual base y altura.

Por razones mencionadas, muchos consideran a Arquímedes como el verdadero autor del Cálculo infinitesimal, él no lo creo, mas sin embargo inició los cimientos del esta disciplina científica. Con su capacidad inventiva y su flexibilidad investigadora, aventuraba los resultados que después demostraba, una inicial basada en la pura intuición de la leyes geométricas, una intermedia comprobación por el método mecánico de las hipótesis intuitivas, y una final, en la que el método de axhaución confirmaba la validez de lo augurado en la fase inventiva.

1.1.2 La aportación medieval a lo infinitesimal.

Aunque hubo muchos desacuerdos y discusiones, se obtuvieron resultados relevantes, como el teorema de Merton, referente al valor medio de una forma cuya velocidad de cambio es constante. Nicolás de Oresme recoge y desarrolla ampliamente el tema de la llamada “Latitud de formas” En una de sus obras Oresme escribe: “La dimensión de los fenómenos está sometida a múltiples variaciones y dicha multicipllidad es difícilmente discernible si su estudio no se remite al estudio de figuras geométricas. Todo lo que varía, se sepa medir o no, lo podemos imaginar como una cantidad continua representada por un segmento rectilíneo.

La cualidad, forma o propiedad es representada de acuerdo con la variación de la intensidad respecto del tiempo. Pero a diferencia de la Geometría analítica la cual la describe como una curva determinada por la latitud y longitud, está la determina como una curva dada por el área de lo que Oresme llama como figura.

Él observa tres tipos de formas:

-Las formas uniformes

-Las formas uniformemente diformes

-Las formas diformemente diformes

Por otro lado, para un tema muy importante, el del movimiento uniformemente acelerado, Oresme dice que la velocidad en el punto medio del intervalo de tiempo es la media de las velocidades en los instantes inicial y final, es decir, obtiene una verificación geométrica del teorema de Merton. Sin embargo, Oresme estaba más interesado por las variaciones de formas y el área bajo la curva, por eso es que se acercó más al cálculo infinitesimal que a la Geometría analítica.

Oresme advierte que en una figura curva, por ejemplo un semicírculo construido sobre la longitud, las latitudes que corresponden a los puntos donde la curva empieza a ascender crece de forma rápida. Pero este aumento, medido por el llamado grado de la amplitud, va continuamente disminuyendo a medida que ascendemos.

Entonces podemos agradecer a Nicolás Oresme por innovadoras ideas:

-La medida de diversas variables físicas por medio de segmentos.

-Algún tipo de relación funcional entre variables.

-Una aproximación a la introducción de las coordenadas mediante la representación gráfica de relaciones funcionales.

-Una especie de integración o sumación continúa para calcular la distancia como el área bajo el grafo velocidad-tiempo.

La escolástica de la baja edad media recurría con frecuencia en sus especulaciones al infinito, tanto en sentido potencial como actual. Esta amplitud de miras permitió desarrollar la importante innovación de los algoritmos infinitos.

R. Swinehead, de la escuela Merton (apodado Calculator) resolvió un problema de ley artificial. Se trata de una serie de movimientos uniformes tales que los intervalos sucesivos de tiempo forman una progresión geométrica de primer término y razón ½, mientras que las intensidades de la forma son los términos de una progresión aritmética de primer término y razón 1.

(1/2) + (2/4) +… +(n/2^n) +… =2

1.2. La asimilación del legado clásico y el cambio de actitud en la matemática.

Proclo, en sus Comentarios al libro I de los Elementos de Euclides, atribuye a Hipócrates de Quíos la invención de método analítico.

La apagoge es una reducción de un problema o de un teorema a otro, que si es conocido o determinado, conduce a la solución de la cuestión propuesta. Se tuvo a Hipócrates de Quíos como el primero que invento la reducción geométrica en estas figuras difíciles.

Al estudiar y examinar el Análisis y la Síntesis, Pappus describió muchos trabajos matemáticos perdidos de distintos personajes como Euclides, Apolonio, Aristeo, etc., sobre la geometría superior.

La eficiencia del Análisis es doble: por una parte, abundan los teoremas geométricos que tienen un reciproco valido y, por otra, cuando el reciproco de un teorema no es válido, puede llegar a serlo añadiendo ciertas condiciones suplementarias, que eran llamadas por los griego “diorismos”.

Descartes fue uno de los que mostro inconformismo por descubrir que les fue ocultado los métodos para descubrir y entender mejor la Geometría griega. Sospechó que los filósofos ocultaron esos conocimientos para ser admirados por los demás.

El principio fundamental de la