LIMITES Límite funcional

...

La estrategia, usada primero por Pierre de Fermat y más tarde por Newton, consiste en aproximar la tangente por rectas secantes cuyas pendientes sí pueden calcularse directamente. En particular, considérese la recta que une el punto (a, f(a)) con un punto cercano, (x, f(x)), de la gráfica de f .

Esta recta se llama una secante (recta que corta, pero no es tangente a la curva). La pendiente de esta secante es: f(x)− f(a) x−a dicho número suele llamarse cociente incremental de f en a. Nótese que una secante es una buena apro- (a, f(a)) (x, f(x)) f(x)− f(a) x−a ximación de la tangente, siempre que el punto (x, f(x)) esté muy próximo a (a, f(a)). Estas consideraciones llevan a definir la tangente a la gráfica de f en el punto (a, f(a)) como la recta que pasa por dicho punto y cuya pendiente es igual al límite: l´ım x→a f(x)− f(a) x−a supuesto, claro está, que dicho límite exista. Razón de cambio Muchas leyes de la Física, la Química, la Biología o la Economía, son funciones que relacionan una variable “dependiente” y con otra variable “independiente” x, lo que suele escribirse en la forma y = f(x). Si la variable independiente cambia de un valor inicial a a otro x, la variable y lo hace de f(a) a f(x). La razón de cambio promedio de y = f(x) con respecto a x en el intervalo [a,x] es: Razón de cambio promedio = f(x)− f(a) x−a Con frecuencia interesa considerar la razón de cambio en intervalos cada vez más pequeños. Esto lleva a definir lo que podemos llamar “razón de cambio puntual de y = f(x) con respecto a x en el punto a” como: l´ım x→a f(x)− f(a) x−a . El ejemplo más conocido de esto que decimos es el de una partícula que se mueve a lo largo de una recta sobre la cual hemos elegido un origen. Sea f(t) la distancia de la partícula al origen en el tiempo t. La razón de cambio promedio tiene en este caso una interpretación fí- sica natural. Es la velocidad media de la partícula durante el intervalo de tiempo considerado.

Parece intuitivo que, en cada instante, la partícula se mueve con una determinada velocidad instantánea. Pero la definición corriente de velocidad es en realidad una definición de velocidad media; la única definición razonable de velocidad instantánea es como la razón de cambio puntual. Es importante darse cuenta de que la velocidad instantánea es un concepto teórico, y una abstracción, que no corresponde exactamente a ninguna cantidad observable.

Notación.

En lo que sigue las letras I, J representan intervalos no vacíos de números reales. 7.1 Definición. Se dice que una función f : I → R es derivable en un punto a∈I, si existe el límite: l´ım x→a f(x)− f(a) x−a . Explícitamente, f es derivable en a si hay un número L∈R verificando que para cada número ε > 0 existe algún número δ > 0 tal que para todo x ∈ I con x , a y | x−a |

Dicho número L se llama la derivada de f en a y suele representarse por f ′ (a) (notación debida a Lagrange) y también, a veces, por d f(x) dx x=a (notación de Leibnitz). Observaciones i) El límite l´ım x→a f(x)− f(a) x−a se escribe también en la forma l´ım h→0 f(a+h)− f(a) h . ii) La derivabilidad de f en un punto a ∈ I es una propiedad local, depende solamente del comportamiento de f en los puntos de I próximos al punto a. Concretamente, si J es cualquier intervalo abierto que contiene el punto a, se verifica que f es derivable en a si, y sólo si, la función restricción f|I∩J es derivable en a y, por supuesto, en tal caso ambas funciones tienen la misma derivada en a. 7.1.2. Derivadas laterales 7.2 Definición. Se dice que f es derivable por la izquierda en a si existe el límite: l´ımx→a xa f(x)− f(a) x−a . El valor de dicho límite se llama la derivada por la derecha de f en a. Teniendo en cuenta la relación que hay entre el límite de una función en un punto y los límites laterales, es claro que: i) Si a = m´axI, entonces la derivabilidad de f en a es lo mismo que la derivabilidad por la izquierda de f en a. ii) Si a = m´ınI, entonces la derivabilidad de f en a es lo mismo que la derivabilidad por la derecha de f en a. iii) Si a no es un extremo de I, entonces equivalen las afirmaciones: a) f es derivable en a. b) Las derivadas por la izquierda y por la derecha de f en a existen y coinciden. El siguiente resultado nos dice que la derivabilidad es una propiedad más fuerte que la continuidad.

Proposición.

Toda función derivable en un punto es continua en dicho punto. En efecto, si f : I → R es derivable en a, de la igualdad: f(x) = f(a) + (x−a) f(x)− f(a) x−a (x∈I, x , a) se sigue que l´ım x→a f(x) = f(a), es decir, f es continua en a. 7.4 Teorema (Reglas de derivación). Sean f g: I → R dos funciones. Se verifican las siguientes afirmaciones: i) La función suma f +g y la función producto f g son derivables en todo punto a∈I en el que f y g sean derivables; en tal caso las derivadas respectivas vienen dadas por: (f +g) ′ (a) = f ′ (a) +g ′ (a); (f g) ′ (a) = f ′ (a)g(a) + f(a)g ′ (a) ii) Si g(x) , 0 para todo x ∈ I, la función cociente f /g es derivable en todo punto a∈I en el que f y g sean derivables en cuyo caso se verifica que: f g ′ (a) = f ′ (a)g(a)− f(a)g ′ (a) (g(a))2 7.5

Corolario. Las funciones polinómicas son derivables en todo punto y las funciones racionales son derivables en todo punto de su conjunto natural de definición. Además la derivada de la función polinómica f(x) = a0 +a1x+a2x 2 +···+anx n en cada punto x ∈ R viene dada por: f ′ (x) = a1 +2a2x+3a3x 2 +···+nanx n−1 7.6 Teorema (Derivación de una función compuesta o regla de la cadena). Sean f : I → R y g: J → R con f(I) ⊆ J, y sea h = g◦ f : I → R la función compuesta. Supongamos que f es derivable en a∈I y que g es derivable en f(a). Entonces h es derivable en a y h ′ (a) = g ′ (f(a))f ′ (a). En particular, si g es derivable en J, la función compuesta h = g◦ f es derivable en todo punto de I donde f sea derivable.

Demostración.

Pongamos b = f(a). Tenemos que probar que l´ım x→a h(x)−h(a) x−a = g ′ (b)f ′ (a). Por hipótesis se cumple que : l´ım y→b g(y)−g(b) y−b l´ım x→a f(x)− f(a) x−a = g ′ (b)f ′ (a) La idea de la demostración es hacer en esta igualdad la sustitución y = f(x). Como no está garantizado por las hipótesis hechas que para x , a se tenga f(x) , b, no está justificado hacer directamente la sustitución indicada (dividir por cero está prohibido). Podemos evitar esta di- ficultad como sigue. Definamos la función ϕ: J → R por: ϕ(y) = g(y)−g(b) y−b (y , b), ϕ(b) = g ′ (b) Con ello