La Estimacion Puntual ,Distribuciones e IC Tamaño de muestra.

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Encontrar la probabilidad de que el saldo medio en una muestra de 50 cuentas esté entre 2350 y 2650 soles.

Solución

X = saldo en soles en una cuenta

μ = S/. 2500, σ = S/. 400, σ2 = (S/. 400)2

[pic 22]

[pic 23]

La probabilidad de que el saldo medio en la muestra de 50 cuentas esté entre S/.2350 y S/.2650 es aproximadamente del 99.2%

Ejemplo 2 Cuarenta estudiantes van a celebrar a un restaurante después del examen final de Estadística. El dinero que aporta cada estudiante, en estas ocasiones, se modela con una variable aleatoria continua con una media de 30 nuevos soles y una desviación estándar de 10 nuevos soles. Calcule la probabilidad de que la media de los aportes para pagar la cuenta esté entre 29 y 31 nuevos soles.

Solución

3. Distribución de la proporción muestral

Si X1. X2,…Xn es una m.a. de tamaño n escogida de una población Bernoulli B(1,p), el total o número de éxitos de la muestra es: [pic 24] y la proporción de éxitos en la muestra es [pic 25]

Si n→ +∞, entonces, por el TLC (n≥30) se tiene:

- X ≅ N(µ = np, σ 2 = npq) o Z=(X − np) /ES1 ≅ N(0,1)

[pic 26]

2. [pic 27]≅ N (µ= p, σ 2 = pq/n)

[pic 28]

[pic 29]

Se define el estadístico proporción muestral como [pic 30]

[pic 31] [pic 32]

La proporción muestral representa la proporción de éxitos observados en una muestra de tamaño n.

Por el teorema central del límite, si el tamaño de muestra n tiende al infinito, entonces se distribuye aproximadamente normal.

Conclusión: Si la población X sigue una distribución normal, entonces[pic 33]

Ejemplo 3 En cierto banco se ha calculado que el 17% de los clientes que poseen fondos mutuos son personas retiradas.

Se toma una muestra aleatoria de 500 clientes del banco que poseen fondos mutuos.

Encontrar la probabilidad de que al menos el 20% de los clientes de la muestra sean personas retiradas. Solución

[pic 34]= Proporción de personas retiradas en la muestra de 500 clientes

p = 0.17

[pic 35]

[pic 36]

Hay una probabilidad aproximada del 3.67% de que en una muestra de 500 accionistas con fondos mutuos encontremos al menos 20% de personas retiradas.

Ejemplo 4 Cerca del 28% de las empresas tienen como propietario a una mujer. Responda a estas preguntas con base en una muestra de 240 empresas

a. Muestre la distribución muestral de [pic 37], la proporción muestral de las empresas propiedad de una mujer.

b. ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral esté a no más de [pic 38]0.04 de la proporción poblacional?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral esté a no más de [pic 39]0.02 de la proporción poblacional?

Solución

4. Distribución de la varianza muestral

Si S2 o [pic 40]es la varianza de una m.a. de tamaño n escogida de la población de parámetros μ, σ2, entonces,

a) [pic 41]

b) [pic 42]~ [pic 43] si la población es normal

4. Estimación de parámetros

- La población se identifica con una v.a. X

- No conocemos sus parámetros.

- De la población se obtiene una muestra aleatoria.

A partir de la muestra, intentamos estimar los parámetros

Métodos de estimación

- Estimación puntual

- Parámetro = Número

- Estimación por intervalos

- Parámetro ∈[a, b]

A. Estimador puntual

Un estimador puntual es un valor, calculado a partir de la información de muestreo, que se emplea para estimar el parámetro de la población (es decir es un estadístico para estimar un parámetro. Al ser un estadístico, es una variable aleatoria)

Los siguientes son ejemplos de estimadores puntuales

La media muestral [pic 44]es un estimador puntual de la media poblacional [pic 45]

La proporción muestral [pic 46] es un estimador puntual de la proporción poblacional P

La varianza muestral [pic 47] ó [pic 48]ó

[pic 49] (para datos agrupados) es un estimador puntual de la varianza poblacional σ2.

6. Propiedades de los estimadores

Estimador insesgado

Un estimador [pic 50] es un estimador insesgado del parámetro Θ, si cumple [pic 51]

Sesgo de un estimador

Sea [pic 52]estimador de parámetro θ

El sesgo de [pic 53] es igual [pic 54]

[pic 55] es un estimador insesgado de parámetro θ sí y solo sí [pic 56]

Ejemplo 5 La media muestral[pic 57]es un estimador insesgado de µ Es decir se probará que [pic 58]