La antiderivada

...

7. Si las estructuras fueron iguales en el paso previo, la integral está resuelta así que simplemente escribe el resultado.

8. Ahora regresa el resultado a las variables originales, sustituyendo las u que encuentres por la g(x) seleccionada, simplifica si es necesario y no olvides colocar la “constante de integración”.

Verifica la secuencia con el siguiente ejemplo:

Resolver: [pic 8]

1. Aparentemente no hay simplificaciones.[pic 9]

2. Hay una constante que multiplica a todo el integrando, se saca:

3. Es un cociente pero el cuadrado del denominador invita a rescribir así: [pic 10] y aquí se podrá considerar una forma un... vayamos por ese rumbo.

4. Si un es la estructura elegida n=-2, y [pic 11].

5. Derivando [pic 12]

6. Sustituyendo todo lo encontrado se tiene: [pic 13] , la expresión es idéntica –salvo las constantes–.

7. Así que el resultado es [pic 14]

8. Finalmente [pic 15] y [pic 16], que es el resultado encontrado con éxito.

Discute con tus compañeros sobre cada uno de los pasos de la resolución en al menos tres ejercicios.

Ejercicios

- Ejercicio 1. [pic 17]

- Se observa que se puede resolver por la regla de la potencia que es una integración por sustitución.

- Se busca el valor de “” y encontramos que [pic 18][pic 19]

- Derivamos con respecto de y encontramos que y obtenemos que [pic 20][pic 21][pic 22][pic 23]

- La integral quedaría de la siguiente manera:

[pic 25][pic 26][pic 24]

- Si tomamos la raíz de y la pasamos al numerador la integral quedaría de la siguiente forma: [pic 27][pic 28]

- A partir de ahí podemos integrar con la siguiente propiedad [pic 29]

- Obtendríamos el siguiente resultado: y esto es igual a [pic 32][pic 30][pic 31]

- El resultado de la integración sería [pic 33]

- Ejercicio 2. [pic 34]

- Podríamos separar el cuadrado del coseno multiplicando (cos)(cos)=[pic 35]

- Por lo tanto la función quedaría como a continuación se presenta:

[pic 36]

- Nuevamente observando se presenta la oportunidad de sustituir utilizando la identidad trigonométrica [pic 37]

- Sustituyendo la identidad obtenemos: [pic 38]

- Buscando la integración debemos recurrir a la integración por sustitución y afirmamos que .[pic 39]

- Derivando nos quedaría [pic 40][pic 41]

- Sustituyendo [pic 43][pic 42]

- Entonces el resultado sería [pic 44]

- Ejercicio 3.[pic 45]

- Comenzamos por definir y plantearíamos que [pic 46][pic 47]

- Derivando obtenemos [pic 50][pic 48][pic 49]

- Sustituyendo [pic 52][pic 53][pic 51]