ANTIDERIVADAS O INTEGRACION INDEFINIDA

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EJEMPLO 1

En este primer ejercicio, aplicamos la fórmula directamente, tomando la x como u.

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EJEMPLO 2

i al integrar por partes tenemos un polinomio de grado n, lo tomamos como u y se repite el proceso n veces.

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EJEMPLO 3

Si al integrar por partes aparece en el segundo miembro la integral que hay que calcular, se resuelve como una ecuación.

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Pasamos la integral del 2º miembro al 1º.

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Sumamos las integrales y multiplicamos en los dos miembros por 4/13.

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Sacamos factor común e3x.

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ÁREA BAJO LA CURVA

CONCEPTOS DE AREA BAJO LA CURVA: El problema del área, el problema de la distancia tanto el valor del área debajo de la gráfica de una función como la distancia recorrida por un objeto se puede calcular aproximadamente por medio de sumas o bien exactamente como el límite de una suma

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RESOLVAMOS EL SIGUIENTE PROBLEMA

Hallar el área comprendida entre la curva:

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GRAFIQUEMOS LA CURVA

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GRAFIQUEMOS LA CURVA

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CONSIDERANDO UN DIFERENCIAL DE ÁREA da

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CONSIDERANDO UN DIFERENCIAL DE ÁREA da

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CONSIDERANDO UN DIFERENCIAL DE ÁREA da

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CONSIDERANDO UN DIFERENCIAL DE ÁREA da

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Si la función es negativa en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por debajo del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:

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Ejemplos

1. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = x2 − 4x y el eje OX.

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2. Hallar el área limitada por la curva y = cos x y el eje Ox entre π/2 y 3π/2.

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AREAS ENTRE DOS CURVAS

Área de la región entre dos curvas ´ Ya hemos visto que el área que hay bajo una curva se puede calcular utilizando la integral definida. Con muy ´ escasas modificaciones podemos calcular el área que hay entre dos curvas. Consideremos dos funciones ´ f y g definidas en un intervalo [a, b] tales que f(x) > g(x) para todo valor x de [a, b]. Entonces el área de la región´ limitada por las gráficas de ´ f y g y las líneas rectas x = a y x = b viene dada por A = Z b a [f(x) − g(x)] dx.

A = Z b a [f(x) − g(x)]dx

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ÁREA DE LA REGION ENTRE DOS GRAFICAS

En general, puede ocurrir que no siempre se verifique f(x) > g(x) ni lo contrario. Entonces debemos dividir el intervalo [a, b] en subintervalos donde si ocurra, aplicar la formula anterior en cada subintervalo y posteriormente ´ sumar los resultados. En otras palabras: El área de la región limitada por las gráficas de dos funciones ´ f y g, y las líneas rectas x = a y x = b viene dada POR

A = Z b a |f(x) − g(x)|dx.

CALCULO DE VOLÚMENES DE LOS SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

En esta sección vamos a calcular el volumen de un s ´ olido tridimensional que aparece frecuentemente en ingeniería y en procesos de producción. Nos estamos refiriendo a los s ´ olidos de revolución, los cuales se obtienen al hacer ´ girar una región plana alrededor de una recta contenida en el mismo plano y que no corta a la región. Ejemplos de ´ solidos de revolución son el cilindro circular recto, la esfera y el toro.

Para calcular el volumen de un sólido de revolución por el método de discos, debemos utilizar las siguientes ´ formulas: ´ (1) Si el eje de revolución es horizontal:

V = π Z b a [R(x)] 2dx.

En este caso estamos suponiendo que la región plana que gira es la región limitada por la gráfica de ´ R(x), el eje x, y las líneas rectas x = a y x = b. Como eje de revolución se considera el eje ´ x

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