Modelos matematicos donde se apliquen las antiderivadas.

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C =0 C=5 C=-2 C=12 C=15 C=8

Pues la derivada de x^2+4 es 2x, una Antiderivada de 2x es x2+4.

Pues la derivada de x^2+30 es 2x también, una otra Antiderivada de 2x es x^2+30.

En forma parecida, una otra Antiderivada de 2x es x^2-49.

En forma parecida, una otra Antiderivada de 2x es x^2 + C, donde C es cualquier constante (positiva, negativa, o cero)

Cada Antiderivada de 2x tiene la forma x^2 + C, donde C es constante.

Pues la derivada de x^4+C es 4x3, Una Antiderivada de 4x^3 es x^4+C

INTEGRAL INDEFINIDA

Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.

Se representa por ∫ f(x) dx.

Se lee: integral de x diferencial de x.

∫ es el signo de integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.

Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:

- ∫ f(x) dx = F(x) + C

Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.

Cálculo del valor de la constate de integración C

Constante de integración

integral indefinida es una antiderivada o primitiva de una función, es decir, si tenemos por ejemplo que la función derivada de F(x) es f(x)=2x ,( o sea que F'(x)=f(x) ),y tenemos que encontrar la función F(x) partiendo de su derivada, podemos pensar a simple vista que x^2 es una antiderivada de 2x, pero x^2 + 2 también es una antiderivada de 2x, e incluso x^2 + c también es una antiderivada de 2x, siendo c una constante cualquiera. Como la derivada de una constante es cero, si derivo x^2 + c = 2x + 0. A esta constante se la denomina constante de integración. Una función f(x) no tiene una única antiderivada, sino tiene múltiples antiderivada y esas anti derivadas se diferencian por esta constante de integración, y puede tomar cualquier valor. Este valor de la constante es muy difícil de saber cuál es exactamente para una cierta antiderivada, a menos que se dé un punto del plano que pertenece a esa antiderivada, si no, no se calcula y se escribe como C.

Una constante de integración se encuentra por condiciones iniciales, ya que esta constante puede tomar cualquier valor a menos que se nos dé un dato sobre la antiderivada como un punto, así si se puede determinar.

EJEMPLO 1

la siguiente función:

[pic 4]

Para poder sacar la antiderivada tenemos que realizar lo que nuestra formula nos indica,n es el exponente de la X se le deberá sumar 1 todo eso quedara en el numerador y repetiremos esa suma de n+1 en el denominador.

Nos debe de quedar de la sig. manera:

[pic 5]

Hacemos la suma tanto en denominador como en numerador y nos quedaría de la siguiente manera:[pic 6]

Se divide el número 2 que tenemos el numerador con el 2 que se obtuvo en el denominador:

[pic 7]

y por ultimo nos quedaría asi :

[pic 8]

Pero nunca debemos olvidar agregar en forma de suma una letra C de lo contrario estará mal, debemos hacerlo de la siguiente manera y así concluye:[pic 9]

EJEMPLO 2

La antiderivada de la siguiente función[pic 10]

Para ello necesitamos la siguiente formula, esta nos dice que la integral de sen es - cosy esa parte es muy facil de comprender, pero ¿Qué es esa letra K en la formula?

[pic 11]

Bueno como veras en el siguiente ejemplo " K " es la constante que multiplica la X de nuestra función

[pic 12]

Por lo tanto aplicando la formula obtendremos el siguiente resultado:

[pic 13]

Teorema:

Si dos funciones h y g son antiderivadas de una misma función f en un conjunto D de números reales, entonces esas dos funciones h y g solo difieren en una constante.

[pic 14]

Conclusión: Si g(x) es una Antiderivada de f en un conjunto D de números reales, entonces cualquier Antiderivada de f es en ese conjunto D y C constante real.

Al hablar de antiderivadas estamos frente a una operación contraria que es originalmente una derivada. Para lograr resolver estas operaciones es necesario tomar en cuenta muchos recursos aritméticos, esto debido a que no hay un procedimiento específico por el cual se pueda llegar al resultado sino por medio de diferentes operaciones.

La antiderivada de una función también puede recibir el nombre de integral indefinida o primitiva de una función; cada uno tiene su razón de ser, antiderivada viene dado porque se hace una operación contraria para llegar a la función original; integral indefinida porque existe una constante C que puede dar como resultado una infinidad de trazados y primitiva porque es una operación que busca el génesis de la función. Todas aunque tienen diferentes nombre relativamente significan lo mismo.

REGLAS BASICAS DE INTEGRACIÓN

[pic 15]

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Referencias

Calculo integral, Métodos de investigación.- Consultado el 13 de noviembre de 2016, tomado de página web de KHANACADEMY: