INTEGRAL DEFINIDA ANTIDERIVADAS
Enviado por Sara • 1 de Diciembre de 2017 • 735 Palabras (3 Páginas) • 407 Visitas
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En consecuencia .[pic 96]
Areas y distancias
Problema del Área
Hallar el área de la región que está debajo de la curva desde hasta . Esto significa que está limitada por la gráfica de una función continua [donde ], las rectas verticales y y el eje [pic 97][pic 98][pic 99][pic 100][pic 101][pic 102][pic 103][pic 104][pic 105][pic 106]
Para resolver este problema primero subdividimos la región en franjas de anchos iguales; como el ancho del intervalo es el ancho de cada franja es .[pic 107][pic 108][pic 109][pic 110][pic 111][pic 112]
Estas franjas dividen el intervalo en subintervalos[pic 113][pic 114]
[pic 115]
Donde y . Los puntos extremos de la derecha de los subintervalos son[pic 116][pic 117]
, , [pic 118][pic 119][pic 120]
Con lo que los extremos del iésimo subintervalo [] son [pic 121]
y[pic 122][pic 123]
Aproximamos la iésima franja, con un rectángulo de ancho igual a [pic 124][pic 125]
Y altura que es el valor de en los puntos extremos de la derecha. El área del iésimo rectángulo es por lo que el área de la región satisface[pic 126][pic 127][pic 128][pic 129][pic 130]
[pic 131][pic 132]
Esta aproximación mejora a medida que aumenta el valor de por lo que podemos definir el área de la región como sigue [pic 133][pic 134]
Definición
El área de la región que se encuentra debajo de la gráfica de la función continua es el límite de la suma de las áreas de los rectángulos de aproximación [pic 135][pic 136][pic 137]
[pic 138]
Se puede probar que el límite de la definición inmediatamente anterior existe por que se supone que es continua. También es posible dmostrar que se obtiene el mismo valor utilizando los puntos extremos de la izquierda :[pic 139]
[pic 140]
De hecho, en lugar de usar los puntos extremos izquierdos o los derechos, podríamos tomar la altura del iésimo rectángulo como el valor de en cualquier número en el iésimo subintervalo . A estos números los llamamos puntos muestras. Asi, una expresión mas general para el área es [pic 141][pic 142][pic 143][pic 144]
[pic 145]
A menudo usamos la notación sigma para escribir de manera mas compacta las sumas de muchos términos, por ejemplo
[pic 146]
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