Otras aplicaciones de la integral definida

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real. Si se toma un límite, podemos determinar el área superficial exacta.

Entonces, la superficie de aproximación consta de varias bandas, cada una formada al hacer girar un segmento de recta en torno a un eje. Para hallar el área superficial, cada una de estas bandas puede ser considerada la porción de un cono circular. El área de la banda (o cono truncado) con una altura inclinada l y radios superior e inferior r1 y r2, respectivamente, se encuentra al restar las áreas de los dos conos:

A= 2π*r*l

Donde r = (1/2)*(r1+r2) es el radio promedio de la banda.

Consideremos la superficie que se obtiene al hacer girar la curva y = f (x), a ≤ x ≤ b, en torno al eje x, donde f es positiva y tiene una derivada continua. A fin de definir su área superficial, dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos con puntos extremos x0, x1,..., xn e igual ancho ∆x. Si yi = f (xi), entonces el punto Pi(xi, yi) está sobre la curva. La porción de la superficie entre xi-1 y xi se aproxima al tomar el segmento de recta Pi-1Pi, y hacerlo girar en torno al eje x. El resultado es una banda con altura inclinada l = |Pi-1Pi | y radio promedio r = (1/2)*(yi-1+ri) de modo que, por la fórmula y mejorando la aproximación cuando n∞, su área superficial es:

∑_(i=1)^n▒〖2πf(x_i)√(1+〖[f^’ (x_i)]〗^2 )〗

Fórmula

Definición área de una superficie de revolución

Cuando f sea positiva y tenga derivada continua, definimos al área superficial de la superficie obtenida al hacer girar la curva y = f(x), a ≤ x ≤ b en torno al eje x:

S = ∫_a^b▒〖2πf(x)√(1+〖[f^’ (x)]〗^2 )〗 dx

Con la notación de Leibniz para derivadas la ecuación se transforma en:

S = ∫_a^b▒〖2πy√(1+〖(□(24&dy)/□(24&dx))〗^2 )〗 dx

Si la curva se describe con la ecuación x = g(y), c ≤ x ≤ d la ecuación se convierte:

S = ∫_c^d▒〖2πy√(1+〖(□(24&dx)/□(24&dy))〗^2 )〗 dy

Se puede resumir de forma simbólica:

Rotación entorno al eje x Rotación entorno al eje y

S = ∫▒2πy ds

S = ∫▒2πx ds

Donde, como antes puede usarse

ds = √(1+〖(□(24&dy)/□(24&dx))〗^2 ) dx ds = √(1+〖(□(24&dx)/□(24&dy))〗^2 ) dy

Ejemplos Resueltos

Problema:

Determinar el área de la superficie obtenida al hacer girar la curva y = √(1+4x) en torno al eje x, sobre el intervalo que va desde x =1 hasta x =5.

Solución:

Intervalo dado [a,b] = [1,5]

Buscamos la derivada de y = √(1+4x):

□(24&dy)/□(24&dx)= 1/2 (1+4x)^((-1)/2) (4)

□(24&dy)/□(24&dx)= 2/√(1+4x)

Aplicando la fórmula de área de una superficie de revolución:

S = ∫_a^b▒〖2πy√(1+〖(□(24&dy)/□(24&dx))〗^2 )〗 dx

= 2π∫_1^5▒〖√(1+4x) √(1+〖(2/√(1+4x))〗^2 )〗 dx

= 2π∫_1^5▒〖√(1+4x) √(1+4/(1+4x))〗 dx

= 2π∫_1^5▒〖√(1+4x) √((4x+5)/(1+4x))〗 dx

= 2π∫_1^5▒√(4x+5) dx

= 2π/4 ∫_9^25▒√u du

= π/2[(2u^(3⁄2))/3]

= π/3[u^(3⁄2)]

= π/3[u^(3⁄2)]

= π/3 [√(〖25〗^3 )-√(9^3 )] = 98π/3

Aplicaciones a la fÍsica y a la ingenierÍa

Fundamento Teórico

Fuerza y presión hidrostáticas

Suponga que una placa horizontal delgada con área de A metros cuadrados se sumerge en un fluido de densidad p kilogramos por metro cúbico a una profundidad de d metros debajo de la superficie del fluido. El fluido directamente arriba de la placa tiene volumen V = Ad, de modo que su masa es m = pV = pAd. La fuerza ejercida por el fluido sobre la placa es:

F = m*g = p*g*A*d.

Un importante principio de la presión del fluido es el hecho comprobado experimentalmente de que en cualquier punto en un líquido, la presión es la misma en todas direcciones. (Un buzo siente la misma presión en la nariz y en ambos oídos.) Así, la presión en cualquier dirección a una profundidad d en un fluido con masa específica p está dada por:

P = p*g*d= *d

Momentos y centros de masa

Para hallar el punto P, llamado centro de masa (o centro de gravedad) de la placa, sobre el que una placa delgada de cualquier forma se mantiene horizontal, primero se considera la situación más simple donde dos masas m1 y m2 se fijan a una varilla de masa insignificante en lados opuestos de un fulcro (puntode apoyo) y a distancias d1 y d2 de éste. La varilla se estabilizará si:

m1*d1 = m2*d2

Ahora suponga que la varilla está a lo largo del eje x con m1 en x1 y m2 en x2 y el centro de masa en x ̅. Se ve que d1 = x ̅ – x1 y d2 = x2 – x ̅ entonces, la ecuación da:

x ̅=(m_1 x_1+m_2 x_2)/(m_1+m_2 )

En general, si se tiene un sistema de n partículas con masas m1, m2,..., mn localizadas en los puntos x1, x2,..., xn sobre el eje x, puede demostrarse de manera similar que el centro de masa del sistema se localiza en:

M=∑_(i=1)^n▒〖m_i x_i 〗

Llamado momento del sistema respecto al origen.

Respecto al eje x Respecto al eje y

M_x=∑_(i=1)^n▒〖m_i y_i 〗 M_y=∑_(i=1)^n▒〖m_i x_i 〗

Al sumar varios momentos, se obtiene el momento de la aproximación poligonal