“APLICACIONES DE LA INTEGRACION DEFINIDA EN EL DISEÑO DE LA TOLVA DE UN CARGADOR FRONTAL”

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de una curva, al área comprendida de una región entre dos curvas. Si, como en la figura 1.1, las gráficas de ambas, f y g, se localizan por encima del eje x, podemos interpretar geométricamente el área de la región entre las gráficas como el área de la región situada debajo de la gráfica f menos el área de la región situada debajo de la gráfica de g, como muestra la figura 1.

Si bien en la figura anterior muestra las gráficas de f y g sobre el eje x, esto no es necesario y se puede usar el mismo integrando [f(x)-g(x)] siempre y cuando f y g sean continuas y g(x)≤f(x) en el intervalo [a,b]. Se resume el resultado en el teorema siguiente.

Si f y g son continuas en [a,b] y g(x)≤f(x) para todo x en [a,b] entonces el área de la región limitada por las gráficas de f y g y las líneas verticales x=a y x=b es

A=∫_a^b▒[f(x)-g(x)]dx

CENTROIDES DE ÁREAS PLANAS:

La masa de un cuerpo físico es una medida de la cantidad de materia en él, mientras que su volumen mide el espacio que ocupa. Si la masa por unidad de volumen es la misma en todo él, se dice que el cuerpo es homogéneo o de densidad constante.

Es muy conveniente en la Física y Mecánica considerar la masa de un cuerpo como concentrada en un punto, llamado su centro de masa (o centro de gravedad). Para un cuerpo homogéneo, ese punto coincide con su centro geométrico o centroide. Por ejemplo, el centro de masa de una bola homogénea coincide con el centroide (su centro) de la bola como sólido geométrico (una esfera).

El centroide de una hoja rectangular de papel está a medio camino entre sus dos superficies y en la intersección de sus diagonales. EL centro de masa de una lámina muy delgada coincide con su centroide considerada como área plana.

El primer momento ML de un área plana con respecto a una recta L es el producto del área por la distancia dirigida de su centroide a esa recta. El momento de un área compuesta con respecto a una recta es la suma de los momentos de las áreas individuales.

El momento de un área plana con respecto a un eje de coordenadas se calcula de la siguiente manera:

Dibujar el área, mostrando una franja representativa y el rectángulo aproximadamente.

Multiplicar el área del rectángulo por la distancia de su centroide al eje y sumar para todos los rectángulos.

Suponer que el número de los rectángulos crece indefinidamente y aplicar el teorema fundamental.

Para un área plana A con centroide ( ) y momentos Mz y My con respecto a los ejes x e y:

A =My y A =Mx

CALCULO DE MOMENTOS:

Las expresiones para el cálculo de los momentos son:

Mx= My=

LONGITUD DE ARCO:

Para el cálculo de la longitud de un arco, podemos tomar un elemento diferencial del arco.

Mediante el teorema de Pitágoras:

(L)2= (y)2+(x)2

Tomando diferenciales:

dL= = dx

Resolviendo la ecuación diferencial, obtenemos la longitud del arco.

= =

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