Aplicación del Calculo Integral con el tema de Integrales Inmediatas en el cálculo de ecuaciones de Momento o Ecuación de la Elástica, Ecuación de la pendiente y Ecuación de la deformación por el Método de Integración Sucesiva en las vigas estát

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3.5. Objetivos Específicos.

- Determinar ecuaciones de la pendiente, flexión de toda la viga y el punto máximo de flexión en vigas estáticamente determinadas.

- Demostrar que el uso de fórmulas integrales inmediatas es el proceso más sencillo y rápido en el cálculo de ecuaciones de la pendiente, flexión de toda la viga y el punto máximo de flexión en vigas estáticamente determinadas.

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Marco Teórico.

Vigas estáticamente indeterminadas

Tal como se ha visto en el caso de las vigas también surgen situaciones estáticamente indeterminadas (Mayor número de reacciones que ecuaciones, por lo que deberá obtenerse a partir de las deformaciones, ecuaciones adicionales que levanten la indeterminación).

Pero como surgen las vigas estáticamente indeterminadas? Veamos:

La siguiente viga es estáticamente determinada:

[pic 4]

Al hacer el análisis deben calcularse los esfuerzos actuantes máximos y la deformación máxima.

Estos valores deben ser menores que los esfuerzos y la deformación admisibles para que la viga sea segura y funcional. Sin embargo puede suceder que sean mayores (uno de ellos o todos).

[pic 5]

En este caso el diseñador debe enfrentar varias alternativas:

a) Cambiar el material (por uno más resistente o más rígido según el caso).

b) Aumentar la sección transversal de la viga incrementando su resistencia y su rigidez, sin cambiar el material.

Sin embargo en muchas ocasiones no es posible cambiar el material o las dimensiones por problemas de disponibilidad de otros materiales o por requerimientos arquitectónicos que no hacen posible cambiar las dimensiones.

En estas condiciones la única alternativa para aumentar la seguridad de la viga y su rigidez será colocar un apoyo adicional intermedio C.

[pic 6]

Esta es otra de las ventajas de las vigas estáticamente indeterminadas: Los apoyos redundantes garantizan la estabilidad en caso de fallas. En general, mientras más apoyos redundantes tengan una viga o estructura, más segura será. Lógicamente también tendrá un mayor grado de indeterminación y por consiguiente el análisis será más largo, puesto que involucrara más ecuaciones.

Observemos como se obtiene la ecuación adicional que nos resuelve la indeterminación:

[pic 7]

Para resolver el problema empleamos un artificio muy utilizado en ingeniería estructural: Quitamos el apoyo redundante y dejamos que la viga se deforme, luego lo volvemos a poner a actuar revirtiendo la deformación que obviamente será igual a la primera. Para el análisis empleamos el principio de superposición así:

[pic 8]

Como en la situación original hay un apoyo en C, allí la deformación será cero. Por este motivo:

[pic 9]

Método de la Integración Sucesiva

Es el más general para determinar deflexiones. Se puede usar para resolver casi cualquier combinación de cargas y condiciones de apoyo en vigas estáticamente determinadas e indeterminadas.

Su uso requiere la capacidad de escribir las ecuaciones de los diagramas de fuerza cortante y momento flector y obtener posteriormente las ecuaciones de la pendiente y deflexión de la viga por medio del Calculo Integral.

Deducción del método de la Integración Sucesiva.

Este método produce ecuaciones para la pendiente, la deflexión en toda la viga y permite la determinación directa del punto de máxima deflexión.

Recordando la Ecuación de la Elástica.

[pic 10]

En donde: M(x) es el momento flector en función de x (distancia en el eje x), EI se conoce como la rigidez a flexión y en caso de que varíe a lo largo de la viga. Sin embargo para estos ejemplos se considera que la rigidez a flexión es constante.

[pic 11]

Donde C1 es una constante de integración que depende de los límites de integración y la derivada es el ángulo de deformación o pendiente

[pic 12]

Mediante esta expresión podemos obtener la deflexión para cualquier distancia ‘x’ medida desde un extremo de la viga.

Condiciones a tomar en cuenta

- Para poder establecer C1 y C2 se deben conocer la deflexión y/o ángulo de deflexión en algún o algunos puntos de la viga. Generalmente en los apoyos es en donde podemos obtener estos datos.

- En el caso de las vigas simplemente apoyadas y vigas empotradas en un extremo, por ejemplo, tenemos las siguientes condiciones:

[pic 13][pic 14]

- Del apoyo A: Deformación y = 0, y una longitud LA

- Debido al apoyo en B: Deformación y = 0, y una longitud LB

- Debido al empotramiento A: Deformación y = 0, y pendiente ᴓ = 0

Pasos para hacer el método de la integración:

- Escoger un eje referencial x, y, z. preferentemente que el origen este en el lado izquierdo

- Luego trazar a una distancia infinitesimal ‘x’

- A partir de ese punto x se deben hacer los momentos ocasionados por las reacciones y las fuerzas puntuales.

- Se plantea la ecuación final

- Se integra una vez para obtener la ecuación de la pendiente y a esta se la integra para obtener la ecuación de la deformación

Integración.

La integración es, pues, un procedimiento esencialmente de