APLICACION DEL CALCULO INTEGRAL EN LA INGENIERIA CIVIL

...

La civil es de las más antiguas y tradicionales ramas de la ingeniería, en tanto, la misma se halla dividida en diversas disciplinas como ser: geofísica, ingeniería ambiental, ingeniería de transporte, ingeniería del urbanismo, ingeniería hidráulica, agrimensura, entre las más destacadas

Se tienen registros realmente milenarios de la práctica de esta actividad. En la Mesopotamia y en el Antiguo Egipto comenzó a empleársela a raíz de la necesidad del ser humano de construirse una vivienda para albergarse cuando decide abandonar la vida itinerante. También la necesidad de trasladarse de manera más sencilla y cómoda desencadenó que el hombre se preocupe por generar proyectos para avanzar en este sentido. Y sin lugar a dudas si tenemos que mencionar un ejemplo de construcciones de envergadura por aquellos tiempos se destacan las Pirámides de Egipto

Entre los siglos XIX y XX llegarían mejoramientos y avances en los instrumentos de medición y en los cálculos matemáticos que terminarían por delinear a la ingeniería civil moderna.

CALCULO INTEGRAL

Historia

El cálculo integral tiene sus orígenes en problemas de cuadraturas en los que se trataba de calcular áreas de regiones planas limitadas por una o varias curvas. Se atribuye a Eudoxo (ca. 370 A.C.) la invención del método de exhaución, una técnica para calcular el área de una región aproximándola por una sucesión de polígonos de forma que en cada paso se mejora la aproximación anterior. Arquímedes (287-212 A.C.) perfeccionó este método y, entre otros resultados, calculó el área de un segmento de parábola y el volumen de un segmento de paraboloide, así como el área y el volumen de una esfera.

Sorprende que, siendo tan antiguos sus orígenes, la primera definición matemática de integral no fuera dada hasta el siglo XIX por Augustin Louis Cauchy (1789-1857). Una posible explicación es que, durante los siglos XVII y XVIII, la integración fue considerada como la operación inversa de la derivación; el cálculo integral consistía esencialmente en el cálculo de primitivas. Naturalmente, se conocía la utilidad de las integrales para calcular áreas y volúmenes, pero los matemáticos de la época consideraban estas nociones como dadas de forma intuitiva y no vieron la necesidad de precisar su significación matemática. Los trabajos de Joseph Fourier (1768-1830) sobre representación de funciones por series trigonométricas hicieron que el concepto de función evolucionara, desde la idea restrictiva de función como fórmula, hasta la definición moderna de función dada por Dirichlet en 1837. Para entender el significado de la integral de estas nuevas funciones más generales se vio la necesidad de precisar matemáticamente los conceptos de área y de volumen.

La originalidad de Cauchy es que unió dos ideas, la de límite y la de área, para dar una definición matemática de integral. Poco después Georg F.B. Riemann (1826-1866) generalizó la definición de integral dada por Cauchy. La teoría de la integral de Riemann fue un avance importante pero, desde un punto de vista matemático, insuficiente. Hubo que esperar hasta el siglo XX para que Henri Lebesgue (1875-1941) estableciera en su libro Leçons sur l’intégration et la recherché des fonctions primitives (1904) los fundamentos de una teoría matemáticamente satisfactoria de la integración.

La integración es una de las herramientas más versátiles del Cálculo, sus aplicaciones no se limitan a calcular áreas de regiones planas o volúmenes de sólidos, también se utiliza para calcular longitudes de curvas, centros de masas, momentos de inercia, áreas de superficies, para representar magnitudes físicas como el trabajo, la fuerza ejercida por una presión, o la energía potencial en un campo de fuerzas.

LA ANTIDERIVADA

O primitiva de una función f(x) es otra función F(x)+C donde C es una constante. Si al derivar F(x)+C nos da como respuesta f(x) Es decir F’(x) = f(x) A la función F(x) se le llama una antiderivada de la una función f(x).

Ejemplo ¿Qué se derivó para que la derivada sea [pic 19],se puede ver que la función que se derivo es

- [pic 20]

Pero también las funciones

[pic 21]

Es decir que la función cuya derivada es 4 es una familia de funciones en este caso lineales cuyos miembros todos tienen pendiente de +4 pero diferentes intersecciones con el eje y como vemos en las gráficas para los diferentes valores de la constante C

C =0 C=5 C=-2 C=12 C=15 C=8

[pic 22]

Se puede afirmar que la función f(X) = 4X +C es la antiderivada de F(x) = 4

TABLA DE FORMULAS DE ANTIDERIVACION

FUNCIÓN

ANTIDERIVADA

C f (x)

C f (x)

F (x + g (x)

F(x) + g (x)

n ≠ -1[pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

[pic 29]

[pic 30]

[pic 31]

[pic 32]

[pic 33]

[pic 34]

[pic 35]

[pic 36]

[pic 37]

[pic 38]

[pic 39]

[pic 40]

INTEGRAL INDEFINIDA

Al proceso de hallar las anti derivadas se le llama integración y a la familia de funciones que se obtiene mediante este proceso se llama integrales indefinidas y se representa mediante los símbolos ⨜ o signo de la integral, dx indica la variable respecto a la cual se lleva el proceso de integración

Los