La tecnica al servicio de la patria”

...

[pic 25]

Ejemplo 3:

Encontrar el área de la superficie de la esfera x2+y2+z2= R2

Solución:

Parametrizamos la superficie usando coordenadas esféricas:

[pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

3.- DEFINICIÓN Y CÁLCULO DE UNA INTEGRAL DE SUPERFICIE PARA UNA FUNCIÓN ESCALAR

En el capítulo anterior se estudiaron las integrales de trayectoria: se tenía una función escalar continua: [pic 29]la parametrización de una trayectoria en R3 [pic 30]entonces la integral de trayectoria de f sobre σ es:

[pic 31]

Así mismo se encontrará una expresión que permita evaluar la integral de una

función escalar cuya región de integración será una superficie enR3.

Dada una función [pic 32]diferenciable y acotada en U, [pic 33]la parametrización suave de una superficie “S” en [pic 34] Dividimos a D en “n” celdas. Es decir que la superficie “S” dividida en “n” porciones. Si tomamos la ij-ésima porción de superficie cuya área está definida por ∆.Sij. Definimos el producto:

[pic 35]

Al considerar la parametrización tendremos que los puntos de la superficie se definen de la siguiente manera:

[pic 36]

Para una porción de superficie muy pequeña su área es aproximadamente:

[pic 37]

Si consideramos H como la suma de todos los [pic 38]

[pic 39]

Cuando se toma un número de particiones “n” muy grande entonces tendremos:

[pic 40]

Definición:

Sea f(x,y,z) una función escalar definida en [pic 41]diferenciable y acotada en U, [pic 42]de una superficie “S” en R3,[pic 43]se llama integral de superficie de f en S a la integral.

[pic 44]

Ejemplo 4:

Evaluar la integral [pic 45]del campo escalar [pic 46]; y S la superficie del helicoide [pic 47]

Solución:

Determinamos los vectores tangentes elementales:

[pic 48]

Entonces el vector producto elemental:

[pic 49]

Resolvemos la integral de acuerdo a la definición:

[pic 50]

[pic 51]

También se puede expresar la integral de línea de un campo escalar utilizando la

parametrización usual para la superficie de la siguiente forma:

[pic 52]

Donde θ es el ángulo entre el vector normal N y el eje “Z”. Esta forma se usa cuando la superficie es plana, por que el término cosθ es constante.

Demostración:

[pic 53]

[pic 54]

Ejemplo 5:

Evaluar la integral [pic 55], donde S es el triángulo de vértices (1,0,0). (0,10), (0,0,1).

Solución:

Determinamos el vector normal:

[pic 56]

[pic 57]

[pic 58]

[pic 59]

4.-DEFINICIÓN Y CÁLCULO DE UNA INTEGRAL DE SUPERFICIE PARA UNA FUNCIÓN VECTORIAL

Definición:

Sea [pic 60]una una función vectorial definida en [pic 61]diferenciable y acotada en U; [pic 62]de una superficie “S” en R3 [pic 63]. Se llama integral de superficie de F en S a la integral: [pic 64].

Ejemplo6:

Determine los vectores tangentes elementales:

[pic 65]

Entonces el vector producto elemental:

[pic 66]

Resolvemos la integral de acuerdo a la definición:

[pic 67]

[pic 68]

5.- INTEGRALES DE SUPERFICIE ORIENTADAS

Definición:

Se consideran superficies orientadas aquellas que tienen dos caras bien definidas,

cuando no es posible, la superficie es no orientada

Una superficie orientada tiene dos vectores normales, uno externo y otro interno (uno que entra y otro que sale). Ambos vectores normales son opuestos, es decir, tienen direcciones contrarias. Como ejemplo vamos a tomar un plano que es una superficie orientada ya que tiene dos caras bien definidas.

[pic 69][pic 70]

Cambiar de orientación significa cambiar el sentido del vector normal. Una cierta parametrización puede provocar este efecto, entonces se debe tomar en cuenta que cuando se cambia la orientación de la superficie se está cambiando su signo.

Una superfiice en el espacio puede ser abierta o cerrada. Si una superficie limita un sólido entonces se la denomina superficie cerrada caso contrario, entonces se la denomina superficie abierta.

Una superficie suave cerrada puede estar formada por la unión de varias superficies abiertas suaves, por ejemplo el cubo unitario está formado por 6 superficies abiertas suaves (planos).

[pic 71]

La integral de superficie en superficies