Las primeras cuatro aproximaciones para una función periódica escalonada
Enviado por Jerry • 8 de Enero de 2019 • 1.315 Palabras (6 Páginas) • 348 Visitas
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Ejemplos de series de Fourier[editar]
[pic 25]
Gráfico de una función periódica.
[pic 26]
Animación de la suma de los 5 primeros armónicos.
Veamos un ejemplo:
[pic 27]
[pic 28]
En este caso, los coeficientes de Fourier nos dan esto:
[pic 29]
Si la serie de Fourier converge hacia: ƒ(x) de cada punto x donde ƒ es diferenciable:
[pic 30]
Ingeniería[editar]
El análisis de señales en el dominio de la frecuencia se realiza a través de las series de Fourier, por cuanto es muy común, reemplazar la variable x por ωt, resultando las componentes:
[pic 31]
Por lo tanto:
[pic 32]
Formulaciones[editar]
Forma compacta[editar]
En ocasiones es más útil conocer la amplitud y la fase en términos cosinusoidales en lugar de amplitudes cosinusoidales y sinusoidal. Otra forma de expresar la compleja forma de la serie de Fourier es:
[pic 33]
donde
[pic 34]
[pic 35]
[pic 36]
Forma exponencial[editar]
Por la identidad de Euler para la exponencial compleja, operando adecuadamente, si
[pic 37]
la serie de Fourier se puede expresar como la suma de dos series:
[pic 38]
En forma más compacta:
[pic 39]
estas ecuaciones solo son válidas cuando el periodo [pic 40] con [pic 41]. Otra forma de expresar la forma compleja de la serie de Fourier es:
[pic 42]
donde
[pic 43]
[pic 44]
[pic 45]
[pic 46]
Formulación moderna[editar]
Realmente el desarrollo en serie de Fourier se hace para funciones de cuadrado integrable, es decir, para funciones que cumplan que:
[pic 47]
El conjunto de todas las funciones integrables definidas en el intervalo [pic 48] se denota con [pic 49]. Este conjunto, tiene definido un producto interno dado por:
[pic 50]
que lo dota de estructura de espacio de Hilbert. De este modo, todas las funciones de [pic 51] pueden desarrollarse en series de Fourier. Así,el conjunto [pic 52] es una base ortonormal del espacio [pic 53]. El desarrollo de Fourier se puede expresar como:
[pic 54]
Donde [pic 55] son los coeficientes del desarrollo de Fourier.
Por último, la identidad de Parseval dice que dada una función [pic 56] de cuadrado integrable y los coeficientes de Fourier [pic 57], se verifica que:
[pic 58]
En lenguaje técnico, podríamos decir que hay una isometría entre el espacio de funciones de cuadrado integrable y el espacio de sucesiones lineales indexadas en los enteros cuyos términos tienen cuadrados sumables.
Formulación general[editar]
Las propiedades útiles de las series de Fourier se deben principalmente a la ortogonalidad y a la propiedad de homomorfismo de las funciones ei n x.
Otras sucesiones de funciones ortogonales tienen propiedades similares, aunque algunas identidades útiles, concerniendo por ejemplo a las convoluciones, no seguirán cumpliéndose si se pierde la "propiedad de homomorfismo".
Algunos ejemplos son las secuencias de funciones de Bessel y los polinomios ortogonales. Tales sucesiones se obtienen normalmente como soluciones de una ecuación diferencial; una gran clase de tales sucesiones útiles son soluciones de los llamados problemas de Sturm-Liouville.
Aplicaciones[editar]
- Generación de formas de onda de corriente o tensión eléctrica por medio de la superposición de sinusoides generados por osciladores eléctrónicos de amplitud variable cuyas frecuencias ya están determinadas.
- Análisis en el comportamiento armónico de una señal.
- Reforzamiento de señales.
- Estudio de la respuesta en el tiempo de una variable circuital eléctrica donde la señal de entrada no es sinusoidal o cosinusoidal, mediante el uso de transformadas de Laplace y/o solución en régimen permanente sinusoidal en el dominio de la frecuencia.
- La resolución de algunas ecuaciones diferenciales en derivadas parciales admiten soluciones particulares en forma de series de Fourier fácilmente computables, y que obtener soluciones prácticas, en la teoría de la transmisión del calor, la teoría de placas, etc.
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