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Las primeras cuatro aproximaciones para una función periódica escalonada

Enviado por   •  8 de Enero de 2019  •  1.315 Palabras (6 Páginas)  •  416 Visitas

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...

Ejemplos de series de Fourier[editar]

[pic 25]

Gráfico de una función periódica.

[pic 26]

Animación de la suma de los 5 primeros armónicos.

Veamos un ejemplo:

[pic 27]

[pic 28]

En este caso, los coeficientes de Fourier nos dan esto:

[pic 29]

Si la serie de Fourier converge hacia: ƒ(x) de cada punto x donde ƒ es diferenciable:

[pic 30]

Ingeniería[editar]

El análisis de señales en el dominio de la frecuencia se realiza a través de las series de Fourier, por cuanto es muy común, reemplazar la variable x por ωt, resultando las componentes:

[pic 31]

Por lo tanto:

[pic 32]

Formulaciones[editar]

Forma compacta[editar]

En ocasiones es más útil conocer la amplitud y la fase en términos cosinusoidales en lugar de amplitudes cosinusoidales y sinusoidal. Otra forma de expresar la compleja forma de la serie de Fourier es:

[pic 33]

donde

[pic 34]

[pic 35]

[pic 36]

Forma exponencial[editar]

Por la identidad de Euler para la exponencial compleja, operando adecuadamente, si

[pic 37]

la serie de Fourier se puede expresar como la suma de dos series:

[pic 38]

En forma más compacta:

[pic 39]

estas ecuaciones solo son válidas cuando el periodo [pic 40] con [pic 41]. Otra forma de expresar la forma compleja de la serie de Fourier es:

[pic 42]

donde

[pic 43]

[pic 44]

[pic 45]

[pic 46]

Formulación moderna[editar]

Realmente el desarrollo en serie de Fourier se hace para funciones de cuadrado integrable, es decir, para funciones que cumplan que:

[pic 47]

El conjunto de todas las funciones integrables definidas en el intervalo [pic 48] se denota con [pic 49]. Este conjunto, tiene definido un producto interno dado por:

[pic 50]

que lo dota de estructura de espacio de Hilbert. De este modo, todas las funciones de [pic 51] pueden desarrollarse en series de Fourier. Así,el conjunto [pic 52] es una base ortonormal del espacio [pic 53]. El desarrollo de Fourier se puede expresar como:

[pic 54]

Donde [pic 55] son los coeficientes del desarrollo de Fourier.

Por último, la identidad de Parseval dice que dada una función [pic 56] de cuadrado integrable y los coeficientes de Fourier [pic 57], se verifica que:

[pic 58]

En lenguaje técnico, podríamos decir que hay una isometría entre el espacio de funciones de cuadrado integrable y el espacio de sucesiones lineales indexadas en los enteros cuyos términos tienen cuadrados sumables.

Formulación general[editar]

Las propiedades útiles de las series de Fourier se deben principalmente a la ortogonalidad y a la propiedad de homomorfismo de las funciones ei n x.

Otras sucesiones de funciones ortogonales tienen propiedades similares, aunque algunas identidades útiles, concerniendo por ejemplo a las convoluciones, no seguirán cumpliéndose si se pierde la "propiedad de homomorfismo".

Algunos ejemplos son las secuencias de funciones de Bessel y los polinomios ortogonales. Tales sucesiones se obtienen normalmente como soluciones de una ecuación diferencial; una gran clase de tales sucesiones útiles son soluciones de los llamados problemas de Sturm-Liouville.

Aplicaciones[editar]

- Generación de formas de onda de corriente o tensión eléctrica por medio de la superposición de sinusoides generados por osciladores eléctrónicos de amplitud variable cuyas frecuencias ya están determinadas.

- Análisis en el comportamiento armónico de una señal.

- Reforzamiento de señales.

- Estudio de la respuesta en el tiempo de una variable circuital eléctrica donde la señal de entrada no es sinusoidal o cosinusoidal, mediante el uso de transformadas de Laplace y/o solución en régimen permanente sinusoidal en el dominio de la frecuencia.

- La resolución de algunas ecuaciones diferenciales en derivadas parciales admiten soluciones particulares en forma de series de Fourier fácilmente computables, y que obtener soluciones prácticas, en la teoría de la transmisión del calor, la teoría de placas, etc.

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