LÍMITE DE UNA VARIABLE
Enviado por Antonio • 2 de Diciembre de 2017 • 1.931 Palabras (8 Páginas) • 393 Visitas
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En esta última expresión no hay barras de valor absoluto para a - x , ya que si a x, a – x 0.[pic 49][pic 50]
TEOREMA
Si f(x) tiene límite cuando x tiende al valor a y este límite es el número L, entonces los límites cuando x tiende a “a” por la izquierda y por la derecha existen y ambos son iguales a L.
La interpretación geométrica de lo anterior se muestra en la siguiente figura:
[pic 51]
Por el contrario, si los límites por la izquierda y por la derecha son diferentes, el no existe.[pic 52]
[pic 53]
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
La función f es continua en el valor a , siempre y cuando se cumpla que .[pic 54][pic 55][pic 56]
La definición anterior implica que se cumplan las siguientes condiciones:
- Que f(a) esté definida.
- Que exista [pic 57]
- Que [pic 58]
Basta con que una de las tres condiciones no se cumpla para que la función f no sea continua en el valor a. Sin embargo, la tercera condición es necesaria y suficiente para que la función y = f(x) sea continua en a.
DISCONTINUIDAD REMOVIBLE
Si la discontinuidad se origina porque no existe f(a), existiendo ; o bien cuando, la discontinuidad es removible, pues basta con definir para que la discontinuidad se elimine.[pic 59][pic 60][pic 61]
Se estaría definiendo una nueva función idéntica a la anterior, excepto en el punto x = a.
En el caso que la discontinuidad sea originada por la no existencia del , entonces la discontinuidad es irremovible.[pic 62]
TEOREMAS SOBRE FUNCIONES CONTINUAS
Si f y g son dos funciones continuas en x =a, entonces:
- f + g es continua en x = a
- f - g es continua en x = a
- f g es continua en x = a[pic 63]
- f g es continua en x = a, siempre que g(x) 0.[pic 64][pic 65]
Si f(x) es una función polinómica, entonces es una función continua para todos los valores de su dominio.
Si f(x) = es una función racional, entonces f(x) es continua para todo su dominio siempre que h(x) 0.[pic 66][pic 67]
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO ABIERTO
La función f es continua en el intervalo abierto (a, b) si y sólo si es continua para todo valor de x que esté dentro del intervalo.
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO CERRADO
La función f es continua en el intervalo cerrado [a, b] si y sólo si es continua para todo valor de x que esté en del intervalo abierto (a, b), así como continua por la derecha en a y por la izquierda en b.
La función f es continua por la derecha en a si y sólo si
[pic 68]
La función f es continua por la izquierda en b si y sólo si [pic 69]
Nota.- Para investigar la continuidad de una función en un intervalo se analizan solamente los valores en los cuales haya cambio de regla de correspondencia, o bien, donde no se pudieran cumplir los teoremas vistos.
LÍMITES CON APLICACIÓN EN EL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
- = 1[pic 70]
- = 1[pic 71]
- = k[pic 72]
- = [pic 73][pic 74]
- = 0[pic 75]
- = 0[pic 76]
LÍMITES AL INFINITO
Son de la forma:
= L[pic 77]
Se presentan los siguientes tres casos:
- n = m
L = [pic 78]
- n m[pic 79]
L = 0
- n m[pic 80]
L , es decir, el límite no existe.[pic 81][pic 82]
ASÍNTOTAS HORIZONTALES
Sea la función f(x), entonces la curva tiene una asíntota horizontal en y = c, si Rf = {x R/ y c} y su ecuación se define como y = [pic 83][pic 84][pic 85]
CONCEPTO DE CONTINUIDAD POR MEDIO DE INCREMENTOS
Incrementos
Sean f = { (x, y) / y = f(x), x Df }[pic 86]
x1, x2 dos elementos del dominio de la función
Llámese a x1 “valor inicial de x” y a x2 “valor final de x”.
Si la variable independiente x pasa de un valor inicial x1 a un valor final x2, tal que se tenga que x2 = x1 + x, a la diferencia x = x2 - x1 se le llama incremento de x y se lee delta x.[pic 87][pic 88]
Dicho incremento puede tener diferentes valores:
x 0 si x1 x2[pic 89][pic 90][pic 91]
x 0 si x1 x2[pic 92][pic 93][pic 94]
x = 0 si x1 = x2[pic 95]
De manera similar, si la función y = f(x) pasa de un valor inicial y1 a un valor final y2, la diferenciay = y2 - y1 se denomina “incremento de la variable dependiente”.[pic 96]
El valor inicial de la variable dependiente (y1) es el valor que adquiere la función y = f(x) cuando la variable independiente x toma un valor inicial x1.
El valor final de la variable dependiente (y2) es el valor que adquiere la función y = f(x) cuando a la variable independiente x se le asigna un valor final x2.
Por
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