MECÁNICA DE MAQUINARIAS II

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p = Distancia perpendicular entre Z y la línea de acción.

Dos fuerzas paralelas, separados una distancia perpendicular p, de igual magnitud F, pero de sentido contrario, constituye un par. Un par no tiene una fuerza resultante, pero sí un torque, cuya magnitud T es independiente de la posición del eje de referencia.

T - pF (4.7a)

Momento de Inercia, Radio de Giro.- El momento de inercia es una propiedad de un cuerpo, cuya existencia está basada en la distribución de masa, determina la aceleración producida por un sistema de fuerzas.

dadas. El momento de inercia con respecto al eje Z está .definido[pic 50]

como:

I = (4.8)[pic 51]

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y está expresado en unidades de lb-pulg.- seg2.

En el sistema de ingeniería está basado en el pie, la unidad correspondiente es: 1 lb-pie-seg2., o Siug-pie2.

1 lb-pulg-seg2. = 1/12 Slug-pie2.

También por definición,

= (4.9)[pic 52][pic 53]

donde , en pulgadas, es el radio de giro con respecto a Z. [pic 54]

El Teorema de Steiner Ejes Paralelos.- El teorema de Steiner relaciona el momento de inercia alrededor de un eje arbitrario con el momento de inercia alrededor de un eje paralelo o a través del centro de gravedad:

= Mp2 (4.18)[pic 55][pic 56]

y en consecuencia: = + p2 (4.11)[pic 57][pic 58]

donde p es la distancia perpendicular entre los dos ejes.

El teorema de Steiner es fácilmente demostrado con referencia a la fig. 4.3.

= ) dM[pic 59][pic 60]

= ) dM 2p [pic 61][pic 62]

Sin embargo, por la ecuac. (4.4c), la segunda integral es despreciable, tal que:

= + Mp2[pic 63][pic 64]

La tabla 4.1 muestra los momentos de inercia de algunos cuerpos simples. Los momentos de inercia de cuerpos complejos pueden ser calculados dividiéndolos en componentes simples, y aplicando el teorema de Steiner, ' p determinando experimentalmente, por ejemplo mediante oscilaciones torsionales como se muestra diagramáticamente en la Fig.

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ESFERA SOLIDA [pic 65]

SEMIESFERA SOLIDA [pic 66]

CILINDRO SOLIDO [pic 67]

MEDIO CILINDRO SOLIDO [pic 68]

CILINDRO HUECO [pic 69]

MEDIO CILINDRO HUECO [pic 70]

CILINDRO SOLIDO [pic 71]

PRISMA SOLIDO [pic 72]

PRISMA SOLIDO [pic 73]

BARRA DEKLGADA (I>10T) [pic 74]

[pic 75]

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Experimentalmente:

I = (4.12)[pic 76]

donde. = Momento de inercia conocido del soporte del ensamble[pic 77]

barra-plancha.

= Tiempo periódico de la oscilación torsional, seg.[pic 78]

K = T / Rigidez torsional, de la barra, es decir, la relación de cualquier torque T, lip-pig., aplicando al extremo libre de la barra, y resultando el ángulo de K es determinado experimentalmente.[pic 79][pic 80]

(Para la derivación de la ecuac. (4,12) el lector debe recurrir si lo considera necesario a cualquier texto /elemental de vibraciones mecánicas)

Momentum Angular.- El momentum angular de un cuerpo con respecto al eje z es, por definición, la suma de los momentos del momentum lineal de las partículas.

= (4.13)[pic 81][pic 82]

Cambio del Momentum Angular con Respecto al Tiempo.- Derivando la ecuac, (4.13) con respecto al tiempo, tendremos:

[pic 83]

Relación entre Torque y Aceleración Angular (Ejes de referencia a través de un punto arbitrario Z).- Por definición

(a)[pic 84]

Desde que dM = d + d[pic 85][pic 86][pic 87]

Y [pic 88]

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por lo consiguiente = (b)[pic 89][pic 90]

donde es el torque externo resultante, es decir, el torque de la fuerza resultante R, con respecto al eje z. (Note que /dr).[pic 91][pic 92][pic 93]

La aceleración de cualquier punto P debe ser expresado en términos de la aceleración del punto 2 de referencia, la velocidad angular y’ aceleración, angular del cuerpo, como sigue:

= + ( + ([pic 94][pic 95][pic 96][pic 97][pic 98]

[pic 99]

- (c)[pic 100][pic 101]

Con la sustitución de arriba, la ecuac. (b) es transformada a:

= [pic 102][pic 103]

= ( [pic 104]

es decir = x + (4.14) [pic 105][pic 106][pic 107][pic 108][pic 109]

Esto puede ser visto por la bien conocida ecuación T = I aplicado solamente siempre y cuando el vector productor x a sea despreciable.[pic 110][pic 111][pic 112]

Esto es cuando el eje de referencia está fijo en el espacio o pasa a través del centro de gravedad. (Note que bajo estas