Matemáticas FUNCIONES CUADRÁTICAS

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- Determina, por este orden, las coordenadas de los puntos A, B, el vértice V y el punto C de la parábola

y = x2 - x + 1 .

[pic 11]

a. A está situado en el eje Y, es decir sus coordenadas son de la forma A(0,y). Puesto que A pertenece a la parábola, y = 02- 0 + 1, y = 1. Luego A = (0,1).

b. B ha de ser de la forma (x,1), por tanto, 1 = x2 - x + 1; 0 = x2- x, 0 = x · (x - 1) de soluciones x = 0 y x = 1. Luego B = (1,1).

c. La 1ª coordenada del vértice está situada en el punto medio del segmento de extremos 0 y 1, es decir, [pic 12]. La 2ª coordenada se obtiene con la ecuación y = (0'5)2- 0'5 + 1 = 0'75. Las coordenadas del vértice serán V = (0'5,0'75).

d. Utilizando la simetría de la parábola puedo calcular la 1ª coordenada de C, x = 2. Por lo tanto,

y = 22-2+1=3. C = (2,3).

Este método se puede generalizar a cualquier parábola de ecuación y = ax2 + bx + c y nos permitirá hallar el vértice de forma inmediata.

Obtención general del vértice

[pic 13]

Sea la parábola y = ax2 + bx + c

Localizado el corte con el eje Y, (0,c) hallamos su simétrico resolviendo el sistema[pic 14] .

Igualando:

a x2 + b x + c = c → a x2 + b x = 0 → x (a x + b) = 0; es decir, x = 0 ó ax + b = 0 que nos lleva a la solución x = -b/a.

La primer coordenada del vértice coincide con el punto medio del segmento de extremos 0 y - b/a, es decir, p = - b/2a

Ejemplo

Si f(x) = x2 + 4 x + 3, entonces [pic 15]y f(2) = -1. Y el vértice será V = (2,-1).

Actividad

- Dada la parábola y =- x2 + 2 x + 3, determina la coordenadas de los puntos indicados.

[pic 16]

Cortes con los ejes

Observa las parábolas:

a. y = - x2 + 2x + 3

[pic 17]

Los puntos de corte con el eje X son de la forma (x,0). Sustituyendo y por 0 en la fórmula obtenemos la ecuación de 2º grado - x2 + 2x + 3 = 0, cuyas soluciones son x = -1, y x = 3.

Los puntos de corte son (-1,0), (3,0).

El punto de corte con el eje Y se obtiene haciendo x = 0 en la ecuación de la parábola. Por tanto, será (0,3).

b. y = x2 - 4x + 4

[pic 18]

Puntos de corte con el eje X:

Resolviendo la ecuación x2 - 4x + 4 = 0, se obtiene como única solución x = 2, que nos proporciona un solo punto de corte con el eje X :(2,0).

Punto de corte con el eje Y: (0,4).

c. y = x2 - 2x + 3

[pic 19]

Puntos de corte con el eje X:

Si resolvemos la ecuación x2 - 2x + 3 = 0 obtenemos que [pic 20]. No existe solución y, por lo tanto, no tiene cortes con el eje X.

Punto de corte con el eje Y: (0,3)

Actividades

- Determina los cortes con los ejes de las parábolas siguientes:

a. y = 2x2 -14x + 24 b. y = 5x2 - 10x + 5 c. y = 6x2 + 12

d. y = 3(x - 2)(x + 5) e. y = 3(x - 2)2 f. y = 3(x2 + 4)

- Determina la ecuación de una parábola cuyos cortes con el eje X sean los puntos (1,0) y (3,0).

- Determina la ecuación de la parábola cuyos cortes con el eje X sean los puntos (-2,0) y (3,0) y con el eje Y sea (0,4).

- Determina la ecuación de una parábola que corte al eje X en el punto (2,0) y al eje Y en (0,6).

Influencia de los parámetros en la gráfica de las funciones cuadráticas

Parábolas del tipo y = ax2 (b = 0 , c = 0)

[pic 21]

Las parábolas de ecuación y = ax2 tienen por vértice el punto V(0,0).

Cuanto mayor sea a (en valor absoluto), más cerrada será la parábola.

Las ramas van hacia arriba si a > 0 o hacia abajo si a .

Un resultado importante

La forma de una parábola depende única y exclusivamente del coeficiente a de x2, es decir, cualquier parábola del tipo y = ax2 + bx + c tiene la misma forma que la parábola y = ax2.

[pic 22]

Por ejemplo:

La parábola y = 2x2-16x + 35 tiene la misma forma que y = 2x2; encajan perfectamente una encima de la otra como puedes comprobar si dibujas las dos parábolas.

Al someter la parábola y = 2x2-16x + 35 a una traslación de vector (4,3), que son las coordenadas de su vértice, obtenemos la parábola y = 2x2.

Las parábolas y = ax2 + bx + c tienen la misma forma que las parábolas del tipo y = ax2.

Actividad

- Determina mediante qué traslación llevamos la parábola y = 3x2 sobre la parábola y = 3x2- 9x + 4 .

[pic 23]

Parábolas del tipo y = ax2 + c , (b = 0)

La gráfica de g(x) = 2x2 + 3, se obtiene a partir de la gráfica de f(x) = 2x2, desplazándola 3 unidades

hacia arriba. El vértice se halla en V(0,3) .

[pic