Modelación Matemática. La situación del concepto de función en el entorno de la modelación

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ETAPAS EN LA SOLUCIÓN DE UN PROBLEMA

I. Entender el problema: ¿Qué trato de encontrar? ¿Qué datos tengo? ¿He resuelto algún problema similar? Para esto se debe leer cuidadosamente el problema resaltando la información más importante, de ser posible, hacer una representación que ilustre la situación planteada, indicando las cantidades conocidas en el problema o relacionándola mediante una tabla de datos.

II. Diseñar un plan: ¿Qué métodos puedo utilizar para resolver el problema? ¿Hay algún patrón que relacione la información? Definir las variables que se van a incorporar en la solución del problema a partir de la identificación clara de cantidades conocidas y de la pregunta que se plantea. Traducir al lenguaje matemático las relaciones encontradas entre las variables mediante un modelo o una ecuación.

III. Llevar a cabo un plan: ¿Cuál es la manera correcta de aplicar los métodos de solución? ¿A partir del modelo matemático o ecuación se resuelve directamente el problema o requiere de procesos implícitos? A partir del modelo o estrategia se pretende dar solución a la pregunta planteada con base en los conceptos y procedimientos matemáticos acordes a proceso de aprendizaje del estudiante.

IV. Verificar las soluciones obtenidas: Revisar la solución obtenida implica devolverse en los pasos anteriores para razonar sobre la coherencia los procedimientos aplicados e interiorizar las estrategias aplicadas, puesto que esto ayuda a desarrollar en el estudiante la habilidad para resolver problemas futuros. El estudiante se cuestionaría acerca de la confiabilidad de los métodos aplicados, toda vez que no se comprueba analíticamente el resultado obtenido. ¿Es correcta la solución propuesta? ¿Parece razonable la solución? La verificación de la solución se hace en términos de la coherencia y el sentido del problema en relación con el contexto involucrado.

Ejemplo 1: Se quiere tender dos tuberías que salgan desde un mismo punto de la orilla de un lago y lleguen 10 km. Arriba, a dos puntos diferentes A y B de una ciudad, los cuales están 5 km. distantes uno del otro. Suponga que la línea que une estos puntos corre paralela al lago. Determine los kilómetros totales de tubería a emplear como función de la distancia que hay entre la proyección de punto A al otro extremo del lago y el punto desde el cual sale la tubería x.

Solución: Por Pitágoras podemos ver que la distancia, en kilómetros, desde el punto x al punto A es

[pic 9][pic 10] Y la distancia desde x a B es:

[pic 11][pic 12]

La función buscada es la suma de estas dos distancias, esta función la llamaremos f. Esto es

[pic 13]

Tenemos ya la fórmula que define la función. Para que la función quede completamente definida falta establecer el dominio. El dominio de las funciones que surgen del modelaje no se establece a través de la fórmula sino mediante las restricciones naturales del problema. Esto es lo que llamaremos el dominio natural. Es claro que x debe ser mayor o igual a 0, y a su vez 5-x también, pues es una longitud como se puede apreciar en el dibujo.

En definitiva Dom. [pic 14][pic 15]

Ejemplo 2: Un museo tiene como política admitir grupos grandes de 30 hasta 80 personas con la siguiente política de rebajas: La tarifa por persona es de 160UM menos 2 UM por cada persona que pase de las 30. Exprese el ingreso del museo, por recibir un grupo de descuento, como función del número de personas del grupo por encima de 30.

Solución: En este caso la variable independiente es

x= números de personas por encima de 30

Así,

Número de personas del grupo=x+30

y,

El precio de entrada por persona =160-2x

El ingreso por recibir un grupo de descuento viene dado por:

Ingreso= (número de personas en el grupo)(Tarifa por persona)

De aquí

[pic 16]

Tal como se define la función, el dominio de la función está formado por el conjunto de los números enteros de 0 a 50, sin embargo muchas veces, a efectos de emplear el cálculo en problemas más avanzados, se considera el dominio como el intervalo[pic 17]

FUNCIONES COMO MODELO MATEMÁTICO

El aplicar las matemáticas a los problemas de la vida real comprende tres etapas. Primero se traduce el problema a términos matemáticos, entonces decimos que tenemos un modelo matemático. Después se obtiene la solución del problema matemático. Por último, se interpreta esta respuesta matemática en términos del problema original. En esta sección trataremos solo el primer paso. De hecho, nuestra atención se enfocará a la determinación de la función o las funciones que involucran los problemas verbales. La facultad para describir las relaciones funcionales que aparecen en un problema es una habilidad matemática que importa desarrollar. Por esta razón mostraremos algunos ejemplos tomados en diferentes campos.

Ejemplo:

Un estacionamiento en la ciudad cobra $20.00 por la primera hora y $10.00 por cada hora adicional. Expresar la cuota de estacionamiento como una función del número de horas estacionadas. Solución:

Si x representa el número de horas estacionadas, entonces la cuota de estacionamiento F estará dada por la fórmula E = 50 – 25(x-1), donde x es un entero positivo

Ejemplo. Se sabe que 100 gramos de granos secos de soya contienen 35 gr. de proteínas y 100 gr. de lentejas secas contienen 26 gr. de proteínas. Los hombres de talla media que viven en un clima moderado necesitan 70 gr. de proteínas en su alimentación diaria. Supongamos que un hombre quiere conseguir esos 70 gr. de proteínas comiendo soya y/o lentejas. Sea x la cantidad de soya e y la cantidad de lentejas diarias (x e y medidas en gr.) ¿Cuál es la relación entre x e y?

Solución:

La proteína ingerida por medio de la soya es 35x y por las lentejas 26 y por día (ambas medidas en gr.). La cantidad diaria total de proteínas es 70 gr. Por tanto obtenemos la ecuación

[pic 18][pic 19] (1)

Reordenando

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