Monografia limites y Derivadas

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Entonces: f(x) es continua

= 4[pic 50]

[pic 51]

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Derivadas

Marco Teórico

Definición

En terminología clásica, la diferenciación manifiesta el coeficiente en que una cantidad [pic 52] cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad [pic 53].

En matemáticas, coeficiente es un factor multiplicativo que pertenece a cierto objeto como una variable, un vector unitario, una función base, etc. (Wikipedia)

Reglas de derivación

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Figura N°5: Reglas de derivación Fuente: (ciens.ula.ve)

Ejemplo derivadas

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Aplicaciones de derivadas en la economía

Las derivadas en economía son una herramienta muy útil puesto que por su misma naturaleza permiten realizar cálculos marginales, es decir hallar la razón de cambio cuando se agrega una unidad adicional al total, sea cual la cantidad económica que se esté considerando: costo, ingreso, beneficio o producción.

En otras palabras la idea es medir el cambio instantáneo en la variable dependiente por acción de un pequeño cambio en la segunda cantidad o variable. (Aplicacion de las derivadas en economia)

Costos

Si el número de unidades de un bien es x; entonces el costo total puede expresarse como, a partir de este costo total pueden definirse los siguientes conceptos:

Costo promedio:

Cp = C (x) / x = y

Costo marginal:

Cm = C ‘ (x) = dy / dx

Costo promedio marginal:

Cpm = dy /dx = xC’(X) – C(x) / x^2 ⎝ d/dx * Cp

Ej: Si la función de Costo es Lineal C(x) 0 ax+ b. donde a,b son constantes

Costo Promedio: Cp = C(x) / X = ax+b / x = a + b/x

Costo Marginal: Cm = C’(x) = a

Costo promedio Marginal: Cpm = d/dx Cp = - b/x^2 (Aplicacion de las derivadas en economia)

Ingresos

Si el número de unidades de un bien es x: Siendo la Función de demanda : y = f(x); donde y es el precio de la unidad demandada, entonces el Ingreso es:

R(x) = xy = x-f(x)

A partir de esta expresión de ingreso total, se definen los siguientes conceptos:

Ingreso promedio:

Rp = r(x) / x

Ingreso marginal:

Rm = R ‘(x)

Nótese que la expresión de Ingreso promedio carece de mayor importancia puesto que es equivalente a la demanda del bien.

Ejemplo :

Una función de Demanda es: Y = 12 – 4x

El Ingreso : R(x) = xy = x(12 -4x)

El Ingreso Marginal: R’ (x) = 12 -8x

Comúnmente se procura maximizar el Ingreso total para ello es suficiente con recurrir a las técnicas de Máximos y mínimos conocidas ( Derivar e igualar a Cero) (Aplicacion de las derivadas en economia)

Ganancias

Si x es el número de unidades; siendo R(x) el Ingreso Total; c((x), el costo total; la ganancia entonces es:

G(x) = R(x) – C(x)

Para maximizar la Ganancia de acuerdo a técnicas conocidas se debe derivar e igualar a cero esto significa:

G’ (x) = R’(x) – C’(x) = 0

⎝ r’(x) = C’(x)

Entonces en el máximo de la Ganancia el ingreso Marginal, debe ser igual al Costo Marginal.

(Aplicacion de las derivadas en economia)

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Bibliografía

Angel, J. d. (2008). MathCon. Recuperado el 22 de 04 de 2014, de MathCon: http://www.math.com.mx/docs/pro/pro_0005_Funciones_2_Limites.pdf

Aplicacion de las derivadas en economia. (s.f.). Recuperado el 06 de 10 de 2014, de Aplicacion de las derivadas en economia: https://docs.google.com/document/d/11m8dEWTp05ptJw_Z1Maq4zEcREJsbvteaolkiQ1qFgs/edit?hl=en

ciens.ula.ve. (s.f.). ciens.ula.ve. Recuperado el 22 de Abril de 2014, de ciens.ula.ve: http://www.ciens.ula.ve/matematica/publicaciones/guias/servicio_docente/2009/texto21/derivada_marzo2009.pdf

disfrutalasmatematicas. (s.f.). disfrutalasmatematicas. Recuperado el 27 de Abril de 2014, de disfrutalasmatematicas: http://www.disfrutalasmatematicas.com/calculo/limites-formal.html

Hérnandez, E. (27 de Noviembre de 2007). Limites y continuidad. Recuperado el 22 de Abril de 2014, de Limites y continuidad: http://www.prepa6.unam.mx/Colegios/Matematicas/papime/PAPIME/manuales/L%C3%ADmites.pdf

Wikipedia. (s.f.). Recuperado el 06 de 10 de 2014, de http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada

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Problemas aplicativos

- Hallar el Ingreso Marginal que se obtiene de un