Numeros y Operaciones.

...

2 x 3 x 5 x 7 +1= 211

2 x 3 x 5 x 7 x 11 +1= 2311

2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 +1= 30031

¿Pueden obtenerse todos los primos con este método? ¿Existe un último número primo?

2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 + 1 = 30021

Veamos que este no es un método para generar números primos ya que 30031 no es primo. Pero lo que podemos saber es que 30031 no es divisible por 2 ni por 3 ni 5 ni 7 ni 11 ni 13, sus factores primos serán mayores que 13. En efecto 30031 = 59 x 509.

Dado un número 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x...x...x...p + 1 = n o bien n es un número primo mayor que p (como en el caso de 7, 31, 211, 2311) o bien sus factores primos son mayores que p como en el caso de 30031. Esto mostraría que no existe un último primo.

Trabajos como éstos acercan a los alumnos/as a la forma del razonamiento deductivo, a la búsqueda de contraejemplos mostrando que no es el cálculo el único interés de la enseñanza en esta etapa. En estas exploraciones el uso de la calculadora resulta indispensable para no desviar el objetivo de la actividad.

Se podrá proponer buscar ejemplos de la conjetura de Goldbach que propone que todo número par mayor que 6 y menor que 100.000 puede expresarse como suma de dos números primos.

6= 3+3

se podrán buscar formas de expresar

8=

10=

12=

14=

198 =

Este camino de búsqueda y exploración permite al docente proponer cuestiones que integren lo que se ha construido.

Si un número es primo ,¿es cierto que el anterior o el siguiente es múltiplo de 6?.

Mostrar con por lo menos cinco ejemplos que todo natural par mayor que 4 es suma de dos números primos.

¿Cuáles son los naturales de tres cifras divisibles por 7 y 11?

Mostrar con ejemplos que al considerar un número natural, el siguiente del doble y su mitad son coprimos (no tienen divisores comunes distintos de 1).

Se estudiará además la potenciación (con exponente positivo) y radicación de números naturales estableciendo significados, usos y propiedades. También será este un momento adecuado para descubrir y demostrar las propiedades de la potenciación como producto y cociente de potencias de igual base, potencia de otra potencia, propiedad distributiva de la potenciación con respecto a la multiplicación y a la división. Propiedad distributiva de la radicación con respecto a la multiplicación y a la división.

Resultará importante promover el uso de distintos tipos de cálculo (mental, escrito, con calculadora, exacto o aproximado), fundamentando la estrategia elegida en relación con la situación planteada. Se utilizará la estimación del cálculo pensado para determinar la adecuación del resultado de cálculos: es decir, se estimará la razonabilidad de resultados. Deberá promoverse la utilización de la calculadora para:

• Resolver problemáticas cuyo interés radique en los procedimientos más que en el cálculo mecánico.

• Trabajar en situaciones que involucren cálculos complejos.

• Verificar cálculos realizados.

Para el uso de la calculadora pueden plantearse situaciones del tipo:

¿Cuál es el menor número natural que multiplicado por 415 da un producto de 4 cifras? Obtener el resto dividir al 784 por 13 con calculadora.

Problemas como el siguiente estimulan la aparición de estrategias para el cálculo mental:

Si 7 x 13 es 91 aplicar propiedades para mostrar que 35 x 26 = 91 x 10

35 x 26 = 7 x 5 x 13 x 2 aplicando la propiedad conmutativa y asociativa de la multiplicación tendremos:

(7 x 13) x (5 x 2) = 91 x 10

Proponer la búsqueda de otros ejemplos por parte de los alumnos/as, para ser resueltos por todos.

Con el mismo fin resultará interesante analizar formas de resolver multiplicaciones con números cercanos a las potencias de 10, por ejemplo:

3200 x 9 = 3200 X ( 10 -1) = 3200 x 10 -3200 x 1=32000 -3200

3200 x 99=

3200 x 990=

A partir de lo analizado en la actividad anterior puede proponerse la siguiente indagación usando cálculo escrito:

Escribir números de tres cifras, multiplicarlos por 7, luego al resultado por 11 y por último a este nuevo resultado por 13. ¿qué se observa? Justificar

En cuanto a la resolución de cálculos combinados se promoverá su resolución utilizando diferentes modelos de calculadoras, estudiando las convenciones acerca de las maneras de resolver ese tipo de cálculos: separación en términos y uso de paréntesis cuando sea necesario, discusión de lo pertinente de acuerdo a cada caso, vale decir, se evitará proponer cálculos con paréntesis, corchetes y llaves en forma aislada y mecanicista. Se utilizará la estimación como estrategia de control de las operaciones realizadas con calculadora.

Por ejemplo:

Cargar de una sola vez los siguientes cálculos en la calculadora científica de modo tal que al apretar el signo = aparezca en el visor el resultado del mismo. Registrar los intentos hasta lograr el objetivo para ser socializados posteriormente.

1/2 x [3 + 5 x (3/4 + 2) - 1] =

[(41 x 2): (3 x 4)]2 =

18: (6 x 4 + 3 x ) =[pic 1]

Números racionales positivos

Se estudiará el orden en Q+ mediante la resolución de problemas como el siguiente:

Si se elige un número entre 33,6 y 72,6 ¿entre qué valores estará comprendido: