Operaciones con números complejos.
Enviado por Ninoka • 21 de Junio de 2018 • 1.567 Palabras (7 Páginas) • 538 Visitas
...
Cuando multiplicas una raíz cuadrada por sí misma, obtienes el número dentro del radical. Esto es lo que significa una raíz cuadrada.
[pic 6]
Bueno, i también es una raíz cuadrada. Es igual a [pic 7].
[pic 8]
Entonces, el último paso para simplificar (5i)( −3i) = −15i2 es reemplazar i2 con −1.
(5i)( −3i)
=
(5)( −3)(i)(i)
=
−15i2
=
−15(−1)
=
15
Ejemplo
Problema
Multiplica. (3i)(2i)
(3i)(2i) = (3)(2)(i)(i)
= 6i2
Multiplica los coeficientes dei y luego multiplica i por i.
6i2 = 6(−1)
6(−1) = −6
Reemplaza i2 con –1.
Multiplica.
Respuesta
(3i)(2i) = −6
¡Observa que el producto de dos números imaginarios es un número real! Veremos esto de nuevo cuando multipliquemos dos números complejos.
Multiplica y simplifica. (3i)( −i)
A) 3
B) −3
C) 3i
D) −3i2
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Usando la propiedad distributiva
La siguiente expresión es un poco más complicada porque se multiplican dos binomios. Esto significa que debes usar la Propiedad Distributiva de la Multiplicación. (Recuerda que multiplicar con el método FOIL — First, Outside, Inside, Last — es aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación.) Una vez que los binomios han sido multiplicados, simplifica la expresión combinando los términos semejantes.
(6x + 8)(4x + 2)
=
6x(4x + 2) + 8(4x + 2)
=
6x(4x) + 6x(2) + 8(4x) + 8(2)
=
24x2 + 12x + 32x + 16
=
24x2 + 44x + 16
De nuevo, puedes multiplicar números complejos de la misma manera. Al final, necesitas simplificar i2.
Ejemplo
Problema
Multiplicar y simplificar. (6 + 8i)(4 + 2i)
(6 + 8i)(4 + 2i)
6(4 + 2i) + 8i(4 + 2i)
6(4) + 6(2i) + 8i(4) + 8i(2i)
24 + 12i + 32i + 16i2
Se están multiplicando dos binomios, por lo que necesitas la Propiedad Distributiva de la Multiplicación.
Podríamos usar FOIL e ir directamente a
6(4) + 6(2i) + 8i(4) + 8i(2i) .
24 + 44i + 16i2
Combina los términos semejantes.
24 + 44i + 16(-1)
24 + 44i – 16
8 + 44i
Reemplaza i2 con −1 y simplifica.
Respuesta
(6 + 8i)(4 + 2i) = 8 + 44i
En este caso, el producto de dos números complejos es complejo. Pero en el siguiente ejemplo, el producto es real y no complejos. ¡Veamos si puedes averiguar por qué!
Ejemplo
Problema
Multiplicar y simplificar. (6 + 8i)(6 – 8i)
(6 + 8i)(6 – 8i)
6(6) + 6(–8i) + 8i(6) + 8i(–8i)
36 – 48i + 48i – 64i2
Usa FOIL para expandir el producto.
36 – 64i2
Combina los términos semejantes.
36 – 64(−1)
36 + 64
100
Reemplaza i2 con −1 y simplifica.
Respuesta
(6 + 8i)(6 – 8i) = 100
Así como [pic 9] y [pic 10] son conjugados, 6 + 8i y 6 – 8i son conjugados. (De nuevo, i es una raíz cuadrada, por lo que esto no es realmente algo nuevo.) Cuando los números son complejos, los llamamos conjugados complejos. Porque los conjugados tienen términos que son iguales excepto por la operación entre ellos (una es suma y la otra es resta), los términos i en el producto sumarán 0. En el ejemplo anterior, −48i se suma a 48i y esa suma es 0, por lo que no el término i no existe en el producto final. Esto significa que el producto de dos complejos conjugados siempre será un número real (y no complejo).
Multiplicar. (9 + i)(9 – i)
A) 82 + 18i
B) 80 – 18i
C) 80
D) 82
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División de números complejos
Hasta
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