Procesos estocastico

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trayectorias continuas a la derecha con lımite a la izquierda

• X0 = 0, y tiene incrementos independientes, es decir considerados los instantes 0 < t1 < t2 < . . . < tn, las variables aleatorias Xt1 , Xt2 − Xt1 , . . . Xtn − Xtn−1 son independientes.

• La distribucion del incremento Xt − Xs es homogenea en el tiempo, es decir, depende unicamente de la diferencia t − s.

Proceso Poisson:

Un proceso de conteo N(t) se dice que es un proceso de Poisson con razón media (o intensidad)  si:

• N(t) tiene incrementos independientes estacionarios.

• N(0)=0

• El número de la longitud  en cualquier intervalo de tiempo está distribuido como Poisson con media . Esto es: también es llamado como proceso de incremento de Poisson.

Proceso Wiener:

El proceso de Wiener es un proceso estocástico de tiempo continuo que se caracteriza por tener tres propiedades importantes:

1. Es un proceso de Markov. Lo que significa que la distribución de probabilidad de todos los valores futuros del proceso depende únicamente de su valor actual, no siendo afectada por sus valores pasados, ni por ninguna otra información actual. Por tanto, el valor actual del proceso es la única información necesaria para realizar la mejor estimación de su valor futuro. El proceso de Wiener es un tipo de proceso de Markov con una media nula y una varianza anual igual a la unidad --> Ф(0,1)

2. Tiene incrementos independientes. Lo que significa que la distribución de probabilidad de los cambios en el proceso en cualquier intervalo temporal es independiente de la de cualquier otro intervalo. Así pues, si la variable aleatoriaz sigue un proceso de Wiener sus variaciones (∆z) para cualesquiera dos pequeños intervalos de tiempo (∆t) son independientes.

3. Las variaciones en el proceso (∆z) producidas en un intervalo finito de tiempo (∆t) se distribuyen normalmente, con una varianza que aumenta linealmente con el tamaño del intervalo temporal. Por tanto, ∆z = # (donde # es una variable aleatoria del tipo Ф[0,1])

Proceso Cox:

Un proceso de Cox es un proceso de Poisson no-homogeneo en el cual la intensidad (λ(t), t ≥ 0) es a su vez un proceso aleatorio. En general, los incrementos sobre intervalos disjuntos para un proceso de Cox no son independientes. Sea (N(t), t ≥ 0) un proceso de Poisson con intensidad constante λ = 1.

El proceso de Cox mas simple requiere seleccionar el valor de una va. Θ y luego observar el proceso M(t) = N(Θt). Dado el valor de Θ, M es, condicionalmente, un proceso de Poisson con intensidad constante λ = Θ. Θ es aleatoria y, tıpicamente, no es observable. Si Θ tiene distribucion continua con densidad f(θ) entonces, por la ley de probabilidad total obtenemos la distribucion