Resumen introdusctorio conjuntos convexos.

...

Estos conjuntos se denominan intervalos de R. observemos que la representación gráfica de cualquier intervalo será una línea convexa. De los ejemplos anteriores , y = (2,3), = (0,+), y no son intervalos.[pic 63][pic 64][pic 65][pic 66][pic 67][pic 68][pic 69][pic 70]

3. subconjuntos convexos de R

Sea SR un subconjunto de R y sean y que pertenecen a S, donde . El conjunto [], entonces todos los puntos desde ]. Puede ocurrir o no, que ] en el caso que cualesquiera que sean sindo , siempre que tenga que S, se dirá que el conjunto S es un conjunto convexo.[pic 71][pic 72][pic 73][pic 74][pic 75][pic 76][pic 77][pic 78][pic 79][pic 80]

Definición de un conjunto convexo:

Un conjunto SR

[] S siendo [pic 81][pic 82][pic 83]

Esto quiere decir que un conjunto de R es convexo, si y solamente si, para cualquier par de puntos al conjunto, el segmento que los une está enteramente contenido ene l conjunto. Si S R, es convexo si y solo si su representación gráfica de una línea es conexa (quiere decir que si S

[pic 84]

De esto se deduce que conforme va variando, el valor definido por , varia entre , tomando todos los valores intermedios al pasar por entre . Para asegurar que un subconjunto S R, sea convexo es preciso que todas las combinaciones convexas, que todos los pares infinitos de S se encuentren también en S.[pic 85][pic 86][pic 87][pic 88][pic 89]

Definición 1.2

Un conjunto S

[pic 90]

Como ya se ha visto todo subconjunto de R es convexo, esto es más evidente gráficamente. Poniendo un ejemplo para poner a prueba la Definición 1.2, buscaremos demostrar si [a] es convexo o no.

Dado que [a, b][pic 91][pic 92]

(1.10) [pic 93]

(1.11)[pic 94]

(1.10) multiplicando por , y a (1.11) multiplicando por , y al hacer la suma correspondiente. Nos queda.[pic 95][pic 96]

[pic 97]

Así como , entonces queda demostrado que es un conjunto convexo.[pic 98]

4. subconjuntos de [pic 99]

Para un caso con un número mayor de dimensiones. Como sabe, os el producto cartesiano de dos conjuntos , que se denota , es el conjunto de todos los pares ordenados (, donde .[pic 100][pic 101][pic 102][pic 103]

Un producto cartesiano se define como RR= {}[pic 104][pic 105]

[pic 106]

[pic 107]

Estos son subconjuntos infinitos de R

Pero el producto cartesiano de n conjuntos seria , denotado por . Las coordenadas también se pueden representar de la siguiente forma[pic 108][pic 109]

. Denotamos como al producto cartesiano, de R consigo mismo “n” veces.[pic 110][pic 111]

Generalmente en este texto se usan subconjuntos de , ejemplos:[pic 112]

[pic 113]

[pic 114]

Es un conjunto infinito, con “n” determinado, es un conjunto infinito con un “n” indeterminado. Es posible que podamos graficar hasta , pero graficar con “n no es posible por medios ordinarios.[pic 115][pic 116][pic 117][pic 118]

Finalmente se dice que un conjunto S, es acotado si existe un numero positivo M tal que. [pic 119]

[pic 120]

5. subconjuntos convexos de [pic 121]

]

][_.,MNBVCX