Sabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y letras. Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra, llamada incógnita, que suele ser la x.

...

x2 + 8x + 16 = 48 + 16

x2 + 8x + 16 = 64

la cual, factorizando, podemos escribir como sigue:

(x + 4) (x + 4) = 64

Que es igual a

(x + 4)2 = 64

Extraemos raíz cuadrada de ambos miembros y tenemos

[pic 8]

Nos queda

x + 4 = 8

Entonces

x = 8 − 4

x = 4

Se dice que "se completó un cuadrado" porque para el primer miembro de la ecuación se logró obtener la expresión (x + 4)2, que es el cuadrado perfecto de un binomio.

Veamos otro ejemplo:

Partamos con la ecuación

x2 + 6x − 16 = 0

Hacemos

x2 + 6x = 16

Luego, a partir de la expresión x2 + 6x (primer miembro de la ecuación) debemos obtener una expresión de la forma (ax + b)2 (cuadrado de la suma de un binomio).

Para encontrar el término que falta hacemos [pic 9]

(Para encontrar dicho término en cualquier ecuación siempre debemos dividir por 2 el valor real del segundo término y el resultado elevarlo al cuadrado).

Ahora, para obtener la expresión completa se suma 9 a ambos miembros de la ecuación:

x2 + 6x = 16

x2 + 6x + 9 = 16 + 9

x2 + 6x + 9 = 25

factorizamos, y queda

(x +3) (x + 3) = 25

(x + 3)2 = 25

La expresión x2 + 6x se ha completado para formar un cuadrado perfecto, en este caso (x + 3)2, y así la ecuación se resuelve con facilidad:

Extraemos raíz cuadrada

[pic 10], y queda

x + 3 = 5 y x + 3 = −5

(pues 52 = 5 y también (−5)2 = 5

Entonces

x = 5 − 3

x = 2

Y

x = − 5 − 3

x = − 8

La ecuación 1 da x = 2 y la ecuación 2 da x = −8.

Otro ejemplo para analizar y estudiar:

Resolver la ecuación: x2 – 6x + 8 = 0

Veamos: Con los términos x2 y –6x podemos formar el cuadrado de binomio (x – 3)2 , pero nos faltaría el término igual a 9, por lo tanto, dejamos las equis (x) a la izquierda y pasamos el 8 a la derecha de la igualdad:

x2 – 6x = − 8

y sumamos 9 a ambos lados de la igualdad para que a la izquierda se forme el cuadrado de binomio:

¿Cómo encontramos el término que falta?, haciendo

[pic 11]x2 – 6x = −8 /+9 (sumamos 9 en ambos miembros de la ecuación)

x2 − 6x + 9 = − 8 + 9

(x – 3)2 = 1

Extraemos las raíces cuadradas

[pic 12]

y queda

x – 3 = 1 y x − 3 = −1

Si

x – 3 = 1

x = 1 + 3

x = 4

Si

x – 3 = −1

x = −1 + 3

x = 2

Por lo tanto x1 = 4 y x2 = 2

Debemos hacer notar que el método de completar cuadrados terminará en lo mismo que la fórmula general, porque es de este método de donde sale dicha fórmula, usada en el método que vemos a continuación.

Ver: PSU: Matemática; Pregunta 028_2010

Solución por la fórmula general

Existe una fórmula que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado, que es la siguiente:

[pic 13]

La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo más (+) y otra con el signo menos (−) antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita, entonces, a identificar las letras a, b y c y sustituir sus valores en la fórmula.

La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado sirve para resolver cualquier ecuación de segundo grado, sea completa o incompleta, y obtener buenos resultados tiene que ver con las técnicas de factorización.

Ejemplo:

Resolver la ecuación 2x2 + 3x − 5 = 0

Vemos claramente que a = 2, b = 3 y c = −5, así es que:

[pic 14]

Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el − :

[pic 15]y también [pic 16]

Así es que las soluciones son [pic 17].

Aquí debemos anotar algo muy importante:

En la fórmula para resolver las ecuaciones de segundo grado aparece la expresión [pic 18]. Esa raíz cuadrada sólo existirá cuando el radicando (b2 − 4ac) sea positivo o cero.

El radicando b2 – 4ac se denomina discriminante y se simboliza por Δ. El número de soluciones (llamadas también raíces) depende del signo de Δ y se puede determinar incluso