TELECOMUNICACIONES ANALISIS COMBINATORIO Y PROBABILDAD

...

En términos más generales y menos matemáticos, el teorema de Bayes es de enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A. Es decir que sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se podría saber (si se tiene algún dato más), la probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza, muestra este sencillo ejemplo la alta relevancia del teorema en cuestión para la ciencia en todas sus ramas, puesto que tiene vinculación íntima con la comprensión de la probabilidad de aspectos causales dados los efectos observados.

Sea [pic 2] un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero (0). Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales [pic 3]. Entonces, la probabilidad [pic 4] viene dada por la expresión:

[pic 5]

donde:

[pic 6] son las probabilidades a priori.

[pic 7] es la probabilidad de [pic 8] en la hipótesis [pic 9].

[pic 10] son las probabilidades a posteriori.

FORMULA DE BAYES

Con base en la definición de Probabilidad condicionada, obtenemos la Fórmula de Bayes, también conocida como la Regla de Bayes:

[pic 11]

Esta fórmula nos permite calcular la probabilidad condicional [pic 12] de cualquiera de los eventos [pic 13], dado [pic 14]. La fórmula [pic 15] "ha originado muchas especulaciones filosóficas y controversias".

PROBABILIDAD CONDICIONADA

Es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B».

No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.

Un ejemplo clásico es el lanzamiento de una moneda para luego lanzar un dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una cara (moneda) y luego un 6 (dado)? Pues eso se escribiría como P (Cara | 6).

EJEMPLOS

Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%.

- Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa.

- Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida por la máquina B.

- ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa?

Solución:

Sea D= "la pieza es defectuosa" y N= "la pieza no es defectuosa". La información del problema puede expresarse en el diagrama de árbol adjunto. [pic 16]

- Para calcular la probabilidad de que la pieza elegida sea defectuosa, P(D), por la propiedad de la probabilidad total,

P(D) = P(A) · P(D/A) + P(B) · P(D/B) + P(C) · P(D/C) =

[pic 17]= 0.45 · 0.03 + 0.30 · 0.04 + 0.25 · 0.05 = 0.038

- Debemos calcular P(B/D). Por el teorema de Bayes,

[pic 18]

- Calculamos P(A/D) y P(C/D), comparándolas con el valor de P(B/D) ya calculado. Aplicando el teorema de Bayes, obtenemos:

[pic 19]

La máquina con mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa es A

2.- Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1 negra y C con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna A?

Solución:

[pic 20]

3.- El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?

[pic 21]

[pic 22]

5.- La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es 0.1. La probabilidad de que suene esta sí se ha producido algún incidente es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es 0.02

En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente?

Sean los sucesos:

I = Producirse incidente.

A = Sonar la alarma.

[pic 23]

[pic 24]

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DISCRETA

Distribuciones de Probabilidad La estadística inferencial tiene como problema general establecer las propiedades de un fenómeno aleatorio estudiando una parte del mismo. Para esto es necesario conocer la distribución de probabilidad de la variable aleatoria que se esta estudiando. Esto puede ser complicado si no existe otra alternativa que deducir teóricamente la función de probabilidad. Afortunadamente, existen numerosos modelos de probabilidad, muchos de los cuales, aunque hayan sido generados con otros fines, pueden ser usados para describir el comportamiento de la mayoría de las variables aleatorias que son estudiadas en las ciencias naturales. Los modelos de distribuciones de probabilidad se clasifican de acuerdo