ANALISIS COMBINATORIO O TECNICAS DE CONTEO.

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Por el principio de multiplicación 720 x 17576 = 12.654.720 placas

2. Permutaciones

Una permutación es también una variación donde n = r es decir el numero de elementos del grupo es el mismo conjunto de tamaño n.

2.1 Permutaciones sin repeticion: Pn

Si todos los elementos del conjunto de tamaño n a1, a2……an son distintos, entonces el número de permutaciones (u ordenaciones) que se pueden hacer esta dado por:

V(n,r) = n! / (n-r)! = n! / (n-n)! = n! / 0! = n!

Luego

Pn = n!

Ejercicios.

- De cuantas formas se pueden sentar 7 personas en 7 sillas

- De cuantas formas se pueden ordenar 10 libros diferentes en una estantería de una biblioteca?

2.2 Permutaciones cuando no todos los elementos son diferentes

Cuando el conjunto de n elementos esta formado por X1 elementos iguales, X2 elementos iguales,…Xi elementos iguales, se dice que es una permutación con repetición

El numero de permutaciones (u ordenaciones) que pueden hacerse esta dado por:

P´n = n! / (X1!, X2!,…Xn!)

Ejercicios:

- De cuantas maneras se puede ordenar las letras de la palabra ESTADISTICAS

- Se rifa un vehículo y usted elige el Nº 191929 cuantas personas están compitiendo con el mismo número en diferente orden.

- De cuantas formas puedes ganarte el BALOTO si tu número es:

05

10

18

22

33

43

3. Combinaciones

Dado el conjunto de n elementos, a1, a2…..an, se llaman combinaciones de orden r, a todos los grupos o subconjuntos de r elementos extraídos de los n elementos, donde cada grupo es distinto cuando difieren al menos en un elemento, es decir el orden no importa: (a1a2) = (a2a1) es una sola combinación

Un equipo de basquetbol (A, B, C, D, E), es el mismo equipo formado por (BDCAE) = (CBADE)

Sea le conjunto [pic 13] cuantas combinaciones de dos elementos pueden hacerse? n =3, r = 2; el Nº de combinaciones será:

[pic 14], [pic 15], [pic 16]= 3 combinaciones

3.1 Combinaciones sin repetición

Cuando todos los elementos que conforman cada combinación son diferentes. Así por ejemplo [pic 17] el número de combinaciones de orden 3 que puede formarse son: abc, abd, adc, bcd, en total.

Para el cálculo de estas combinaciones se ha desarrollado la siguiente expresión:

C(n, r) =nCr= [pic 19][pic 18]

Ejemplo: Cuantos comités de tres miembros se pueden elegir de un grupo de 8 personas?

Si n = 8, r = 3; C(8,3) = 8! / 5! 3! = 56 comités diferentes

Ejercicio:

El control de calidad de cajas diferentes que contienen ciertos medicamentos, se lleva a cabo así: si cada lote contiene 15 cajas y se revisan 7 para aceptar o rechazar el lote, de cuantas maneras se puede obtener7 cajas de un lote?

n = 15; r = 7; C815,7) = 15! / (15-7)! / 7! = [pic 20]6435

Ejercicio:

Un mecanismo de un equipo de radar puede fallar en 15 dispositivos diferentes. Si el fallo se produce afectando siempre en tres dispositivos, de cuantas maneras puede ocurrir el fallo en 15 dispositivos?

n = 15, r = 3; C (15,3) = 15! / 12! 3! = 455

3.2 Combinaciones con repetición

Se dice que las combinaciones son con repetición, cuando los elementos del conjunto a1, a2,…a3 se puede repetir al formar las combinaciones de orden r. así por ejemplo: si el conjunto es[pic 21] y r = 3, combinaciones con repetición puede ser (AAB), (ABB), (AAA), (CDD)…etc. Recuerde que cada grupo es diferente y que demás (ABB), (BAB) y (BBA) es la misma combinación

Para calcular el número de combinaciones r con repetición se ha desarrollado la siguiente expresión:

C´(n,r) = [pic 22]

Ejemplo:

Cuantas fichas tiene un domino?

Las siguientes expresiones son de mucha importancia para la comprensión y tratamientos los numero combinatorios.

- C(n,n) = 1

DEM: C (n, n) = n! / (n-n)! n! = n / 0! n1 = n! / n! = 1

- C(n,1) = n

DEM: C (n, n) = n! / (n-1)! = n (n-1)! / (n-1)! = n

TALLER ANALISIS COMBINATORIO

En grupos de 4 alumnos entregar la solución de los ejercicios escritos en rojo para el día del parcial

1. Demuestre que:

- C (n, 0) = 1

- C(n, n-1) = 1

- Exprese las diferencias que hay entre una variación, una permutación y una combinación.

- Demuestre que [pic 23]

- En cuantas formas pueden caer 4 monedas y 3 dados si se lanzan simultáneamente?

- En cuantas formas puede responderse un examen que consta de 20 preguntas del tipo V o F?

- En cuantas formas puede responderse un examen que consta de 12 preguntas si cada una de ellas tiene 4 numerales del tipo a), b), c), d)?

- Una compañía de 12 supervisores. Cuantos comités se pueden formar de 5 persona cada comité.